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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 93

Se a variável aleatória X tiver uma distribuição exponencial, com média θ , determine o seguinte:

  1. P ( X > θ )
  2. P ( X > 2 θ )
  3. P ( X > 3 θ )
  4. Como os resultados dependem de θ ?

Passo 1

Seja X a variável aleatória distribuída exponencialmente com o seguinte média:

E ( X ) = θ

É uma variável aleatória contínua com a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição cumulativa dados como:

f ( x ) = λ e - λ x ,   x   ≥   0

F ( x ) = 1 - e - λ x , x   ≥   0

Então, vamos calcular o parâmetro λ com a fórmula conhecida para a média da distribuição exponencial:

θ = E ( X ) = 1 λ

E assim temos:

λ = 1 θ

Daí, vamos calcular a letra a até c:

Passo 2

Letra a:

P ( X > θ ) = 1 - F ( θ ) = e - 1 θ × θ = e - 1 = 0.37

Passo 3

Letra b:

P ( X > 2 θ ) = 1 - F ( 2 θ ) = e - 1 / θ × 2 θ = e - 2 = 0.135

Passo 4

Letra c:

P ( X > 3 θ ) = 1 - F ( 3 θ ) = e - 1 / θ × 3 θ = e - 3 = 0.0498

Passo 5

Letra d:

As respostas não dependem do parâmetro θ

Resposta

  1. e - 1
  2. e - 2
  3. e - 3
  4. Não tem dependência
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