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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 56

O tempo total, medido em unidades de cem horas, no qual uma adolescente usa seu aparelho de som durante o período de um ano, é a variável aleatória que tem função de densidade

f x = x ,                                     0 < x < 1 2 - x ,                     1 ≤ x < 2 0 ,                 c a s o   c o n t r á r i o

Use o Teorema 4.6 para avaliar a média da variável aleatória Y = 60 X 2 + 39 X , onde Y é igual ao número total de quilowatts-hora gastos anualmente.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. O que queremos aqui é definir a média da variável Y = 60 X 2 + 39 X , para isso, vamos usar a propriedade abaixo:

E a X 2 + b X + c = a E X 2 + b E X + c

Lembrando que o valor esperado de uma variável aleatória contínua é:

E X = ∫ x x f ( x )

E a fórmula de E ( X 2 ) é:

E X 2 = ∫ x x 2 f ( x )

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Calculando o valor esperado da variável contínua X :

E X = ∫ 0 1 x x d x + ∫ 1 2 x ( 2 - x ) d x

= ∫ 0 1 x 2 d x + ∫ 1 2 ( 2 x - x 2 ) d x

= 1 3 x 3 0 1 + x 2 - 1 3 x 3 1 2

= 1 3 + 4 - 8 3 - 1 + 1 3

E X = 1

Calculando E ( X 2 ) :

E X 2 = ∫ 0 1 x 2 x d x + ∫ 1 2 x 2 ( 2 - x ) d x

= ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 ( 2 x 2 - x 3 ) d x

= 1 4 x 4 0 1 + 2 x 3 3 - 1 4 x 4 1 2

= 1 4 + 16 3 - 4 - 2 3 + 1 4

E X 2 = 7 6

Por fim, usando a propriedade que definimos no Passo 1, para encontrar o valor esperado de Y :

E ( Y ) = E ( 60 X 2 + 39 X ) = 60 E X 2 + 39 E X

= 60 7 6 + 39 1

E ( Y ) = 109

Resposta

μ Y = 109   k W h

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