Se X e Y tiverem uma distribuição normal de variada, com função densidade de probabilidade conjunta, mostre que a distribuição de probabilidades marginais de X é normal, com média e desvio padrão. Sugestão: complete o quadrado no expoente e os e o fato de a integral de uma função densidade probabilidade normal para uma única variável ser igual a um.

Nosso objetivo é usar o fato de que a integral de uma função de densidade de probabilidade normal para uma única variável é 1.

Temos expoentes, então podemos separar a soma acima em duas funções exponenciais.

Observe o primeiro expoente:

Agora obtemos o produto das duas funções expoentes a seguir:

e

Observe o seguinte:

e também que a primeira função expoente depende apenas de x, que nós iremos usar. Mas antes disso, agora podemos separar a função de densidade de probabilidade no seguinte produto:

ou

O que precisamos observar aqui é que a primeira função do produto é a função de probabilidade de densidade de uma variável de dimensão com parâmetros:

e

e a segunda função no produto é a função de densidade de probabilidade de uma variável de dimensão com parâmetros:

E

Usando isso, e o fato de que a primeira função é apenas função de x e não de y, temos:

Vemos que a função é na verdade uma função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória que é normalmente distribuída com parâmetros e .