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O Poder do Teste

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Teoria

Até agora nós falamos bastante do α (erro tipo I) e pouco do β né? Acontece que o α nós geralmente fixamos para conseguir encontrar tanto o ponto crítico quanto a região crítica, enquanto o β (erro tipo II) nós geralmente não conseguimos calcular.

Vamos ver isso melhor através de um exemplo pode ser?

Ex.:

Imagine que temos uma balança de alimentos utilizada para preencher potes de suplementos, em que a v.a. X descreve o peso de cada alimento. Essa v.a. X tem distribuição normal com média μ e variância 400 . A máquina foi regulada para μ = 500 g . Desejamos, periodicamente, colher uma amostra de 16 potes e verificar se a produção está sob controle, ou seja, se μ = 500 g ou não.

H 0 : μ = 500 g

H 1 : μ ≠ 500 g

E terá uma distribuição

X   ~   N μ , σ 2 n

X   ~   N   500 , 400 16

X   ~   N ( 500,25 )

Fixando α = 0,01 teremos que a amostra será rejeitada quando μ for muito grande ou muito pequeno. Percebe que aqui nós temos o caso bilateral, portanto estamos querendo descobrir quais são as duas regiões críticas.

  • μ < 500

    • P x - < x c - 1   x -   ~   N 500,25 = α 2 = 0,005

    P x - - 500 25   < x c 1 - - 500 25 = 0,005

    P Z < x c 1 - - 500 25 = 0,005

    Agora precisamos olhar a tabela normal

    P Z < - 2,58 = 0,0 05

    Então

    x c 1 - - 500 5 = - 2,58

    x c 1 - = 487,1

  • μ > 500

P x - > x c - 2   x -   ~   N 500,25 = α 2 = 0,0 05

P x - - 500 25   > x c 2 - - 500 25 = 0,0 05

P Z > x c 2 - - 500 25 = 0,0 05

Vendo na tabela temos:

P Z > 2,58 = 0,0 5

x c 2 - - 500 5 = 2,58

x c 2 - = 512,9

Assim temos R C = { x - ∈ R   | x - ≤ 487,1   o u   x - ≥ 512,9 }

No gráfico:

R A = { x - ∈ R   | 487,1 ≤ x - ≤ 512,9 }

A probabilidade de β não pode ser calculada a menos que se especifique o valor alternativo para μ . Ou seja, quando montamos:

H 0 : μ = 500 g

H 1 : μ ≠ 500 g → T e m o s   q u e   d e f i n i r   u m   μ .

Sabemos que

P e r r o   I I = P a c e i t a r   H o H 1 = P a c e i t a r   H o μ = β

Podemos dizer que β é uma função de μ e escrever

β μ = P ( E s t a r   n a   R e g i ã o   d e   A c e i t a ç ã o | μ )

No exemplo acima, se μ = 505 ficaríamos com:

β μ = P x - ∈ R A   μ )

β μ = P 487,1 ≤ x - ≤ 512,9     μ )

Usando o fato que x -   ~   N 505,25 agora, teremos

β μ = 487,1 - 505 5 ≤ x - - 505 5 ≤ 512,9 - 505 5

β μ = - 3,58 ≤ Z ≤ 1,58 = 94,28 %

Para qualquer outro valor de μ podemos encontrar o respectivo valor de β .

Vamos olhar o quadro de decisões:

Decisão

Valor Real do parâmetro

H o : μ = 500

H 1 : μ ≠ 500

A máquina está sob controle: μ = 500

Probabilidade de estar na região de aceitação, ou seja aceitar H 0   dado que o H o é verdadeira. P R A H o = 0,99

Probabilidade de estar na região de aceitação, de aceitar H o sendo que H 1 é verdadeira. P R A   H 1 = β

(dependendo de valor alternativo de μ )

A máquina não está sob controle: μ ≠ 500

Probabilidade de estar na região Crítica e aceitar H o

P e r r o I = P R C H 0 = 0,01

Probabilidade de rejeitar H 0 sendo que H 1 é verdadeira.

P R C H 1 = 1 - β

(dependendo de valor alternativo de μ )

Chamamos P R C H 1 = 1 - β de poder do teste ou potência do teste e representamos por:

π μ = P R C H 1 = 1 - β ( μ )

Exemplo do pote de suplemento teríamos

π 505 = 1 - β 505 = 1 - 0,9428 = 0,0572  

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006 - pp. 341-15.

Sendo X o custo de manutenção de tear, sabe-se que X   ~   N ( μ , 400 ) . Para testar a hipótese:

H 0 : μ = 200

H 1 : μ > 200

Será usada uma amostra de 25 teares. (Considere que o custo não pode ser menor que 200.)

a) Fixando α = 5 %   , encontre a correspondente RC.

c) Para que valores de μ = 210 , qual o poder do teste ?

Passo 1

Fixando α = 0,05 e considerenado H o verdadeira teremos

x -   ~   N ( μ , σ 2 n )

x -   ~   N ( 200 , 400 2 5 )

Passo 2

P e r r o I = P x - ∈ R C H 0   é   v e r d a d e i r a = α

α = P x - > 200 x -   ~   N 200 , 400 25

Passo 3

α = P x - - 200 4 > x c - - 200 4

Queremos

P Z > Z α = P Z > z 0,05

Sabemos que

Z 0,05 = 1,645

Passo 4

Encontrando x c -

x c - - 200 4 = 1,645

x c - = 206,58

A região crítica será:

R C = { x ∈ R   | X > 206,58 }

Passo 5

O poder do teste é β ( μ ) . Para calcular ele, precisamos de valores para μ e também de qual é a região de aceitação

R A = { x ∈ R   | 200 ≤ X ≤ 206,58 }

β μ = P x - ∈ R A   μ )

- - μ = 210  

β μ = 200 - 210 4 ≤ x - - 210 4 ≤ 206,58 - 210 4

β μ = ( - 2,5 ≤ Z ≤ - 0,855 )

β μ = 0 , 1775

π μ = 1 - β μ = 0,8225

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #2

João Ismael D. Pinheiro, Probabilidade e Estatística

Num certo banco de dados, o tempo para a realização das buscas é aproximadamente normal com média 53   s e desvio padrão 14   s . Modificou-se o sistema para reduzir o tempo. Foram contados os tempos para   30 buscas. Admita que as 30   observações possam ser consideradas uma amostra aleatória e que não houve alteração na variância. Use = 1 % .   Calcule o poder do teste se a verdadeira média de tempo fosse de 45 s .

Passo 1

Sabemos que o poder do teste é π μ = 1 - β ( μ ) ,

Onde:

β μ = P e r r o   t i p o   I I = P ( x - ∈ R A | H 1   v e r d a d e i r a )

Vamos estipular nossas hipóteses então, aqui o objetivo foi reduzir o tempo médio das buscas, que originalmente era de 53 s , então:

H 0 :   μ = 53

H 1 :   μ < 53

Assim estamos testando de fato se a média diminuiu.

Sabemos também que:

x - ~ N 53 ; 14 30

Passo 2

Para achar a RC, e consequentemente a RA, precisamos do nosso x - c r i t i c o , e, para isso, precisamos do z c r í t i c o . Aqui no teste unilateral inferior para média ele é:

z c r í t i c o = - z 1 - α

Como α = 0,01 :

z c r í t i c o = - z 1 - 0,01 = - z 0,99 = - 2,33

Então para achar o x - c r i t i c o , fazemos as operações inversas da padronização no z c r í t i c o (estamos “despadronizando”):

x - c r i t i c o = z c r í t i c o × σ n + μ

Sabemos pelo enunciado que μ = 53 ,   σ = 14 ,   n = 30 , substituindo:

x - c r i t i c o = - 2,33 × 14 30 + 53 = 47,05

Então nossas regiões são:

R C = {   x - < 47,05 }

R A = {   x - > 47,05 }

Passo 3

Então a probabilidade de erro tipo II vai ser, para a verdadeira média de 45 s :

β μ = 45 = P ( x - > 47,05 | μ = 45 )

= P Z > 47,05 - 45 14 30 = P Z > 0,8 = 1 - P Z < 0,8 = 1 - 0,7881 = 0,2119

Então o poder do teste será:

π μ = 1 - 0,2119 = 0,7881

Resposta

0,7881

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