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Teste de Independência

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Teoria

Mais um teste? Não é possível que ainda tenham coisas para serem testadas. Então galera tem e vou te mostrar. Imagina a seguinte situação:

Durante um mês foi contabilizado os pratos que retornavam a cozinha em um restaurante. Nos dias de semana dos 1000 pratos servidos 450 foram mandados de volta para cozinha com alguma reclamação, já durante o fim de semana dos 1000 pratos servidos apenas 200 pratos não tiveram nenhuma reclamação, isto é, 800 voltaram à cozinha. Como é possível ver na tabela abaixo

Queremos saber se a quantidade de pratos que retornam à cozinha independe de se é fim de semana ou durante a semana.

Então mais uma vez testaremos isso por teste de hipótese, mas qual serão nossas hipóteses? Bom primeiramente precisamos definir alguns conceitos:

p i j = p r o b a b i l i d e   d e   u m   i n d i v í d u o   e s t a r   n a s   c a t e g o r i a s   i   e   j   a o   m e s m o   t e m p o

p i = p r o b a b i l i d a d e   d e   u m   i n d i v í d u o   e s t a r   n a   c a t e g o r i a   i

p j = p r o b a b i l i d a d e   d e   u m   i n d i v í d u o   e s t a r   n a   c a t e g o r i a   j

Então escolheremos as hipóteses da seguinte maneira:

H 0 :   p i j = p i . p j   v s   H 1 :   p i j ≠ p i . p j  

Mas que que são essas categorias i e j? Bom as categorias i serão as colunas, isto é, a coluna i = 1 se refere aos pratos se reclamação, e a i = 2 aos pratos com reclamação. Já as categorias j serão as linhas, logo j = 1 se refere a fim de semana e j = 2 a durante a semana. Vale ressaltar que as linhas e colunas escritas total não são contabilizadas nessa parte mas são de suma importância.

Complicou um pouquinho mas ainda da pra entender né? Agora vou facilitar pra tu, qual será nossa estatística de teste? Ela mesma! A mais fofa! A que rege a nossa vida! A poderosíssima:

X 2 = ∑ i = 1 s ( O i j - E i j ) 2 E i j

Onde:

Oij = Número de casos ocorridos para os valores i e j simultaneamente

Eij = Número de casos esperados para o valores i e j simultaneamente

Agora nossa decisão de rejeição de H0 sofrerá um pequena alteração

X 2 > X α , v 2

Onde:

i ∈ 1 , s ,   i s t o   é ,   s   é   o   n ú m e r o   d e   c o l u n a s

j ∈ 1 , r ,   i s t o   é , r   é   o   n ú m e r o   d e   l i n h a s

v = s - 1 . ( r - 1 )

X α , v 2 = q u a n t i l   d a   1 - α   d a   q u i - q u a d r a d o   c o m   v   g . l .  

E para achar o valor esperado muda um pouquinho de novo. É aqui que a linha e a coluna total vão ser importantes. Olharemos para a linha total e veremos quantos por cento é esperado em cada coluna, observe a tabela abaixo

Então como esperamos 37,5% dos pratos sem reclamação e 62,5% dos pratos com reclamação, o esperado seria que essa proporção se mantivesse também nas outras linhas logo observe a nova tabela

Onde os números entre parênteses são os valores esperados, perceba que nesse caso os números foram iguais para as duas linhas distintas, porque seus totais somavam o mesmo (1000 cada), porém nem sempre isso ocorrerá.

Agora vamos terminar o exemplo, estipulando um α=0,05:

X 2 = 200 - 375 2 375 + 550 - 375 2 375 + 800 - 625 2 625 + 450 - 625 2 625

X 2 = 81,667 + 81,667 + 49 + 49 = 261 , 334

Agora olharemos o q u a n t i l   d a   95 %   d a   q u i - q u a d r a d o   c o m   2 - 1 . 2 - 1   g . l .   i s t o   é ,   q u a n t i l   d a   95 %   d a   q u i - q u a d r a d o   c o m   1   g . l .

X 0,05,1 2 = 3,84

Como 261 , 334 > 3,84, rejeitamos H0 a um nível de significância 5%, então temos evidências que quantidade de pratos que retornam à cozinha depende de se é fim de semana ou durante a semana.

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Faça o teste para um nível de significância 5%.

Passo 1

Aqui teremos que aplicar o teste de indepedência para os dois genêros, e ver se o uso de hospital é independente a um nível de significância 5%. Lembre-se que precisamos encontrar o valor esperado para cada caso.

Passo 2

Para encontrarmos o valor esperado para cada caso Ei, primeiro temos que ver o total de cada coluna:

100 + 150 =   250   u s a r a m   o   h o s p i t a l

900 + 850 =   1750   n ã o   u s a r a m   o   h o s p i t a l

250 + 1750 =   2 000   t o t a l

Passo 3

Daí tiramos a proporção esperada em cada caso:

Para usaram o hospital:

250 2000 = 12,5 %

Para não usaram o hospital:

1750 2000 = 87,5 %

Passo 4

Achando o valor esperado

E 1 = 0,125   .   1000 = 125

E 2 = 0,875   .   1000 = 875

Só precisamos fazer achar dois valores esperados pois os totais são iguais

Passo 5

Agora vamos aplicar os dados na estatística de teste:

X 2 = ∑ i = 1 s ( O i - E i ) 2 E i

X 2 = 150 - 125 2 125 + 100 - 125 2 125 + 850 - 875 2 875 + 900 - 875 2 875

X 2 = 5 + 5 + 0,714 + 0,714 = 11,428

Passo 6

Agora vamos achar na tabela da qui-quadrada o quantil 95% com (2-1).(2-1), isto é com 1 grau de liberdade

X 0,05,1 2 = 3,84

Passo 7

-

Comparando agora os dois valores encontrados temos que:

11,428 > 3,84

Logo a um nível de significância de 5% rejeitamos H0, isto é, temos evidência que a ida ao hospital depende do genêro.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #2

Faça o teste para um nível de significância 5%.

Passo 1

Aqui teremos que aplicar o teste de indepedência para os dois genêros, e ver se a “fidelidade” ao produto é independente a um nível de significância 5%. Lembre-se que precisamos encontrar o valor esperado para cada caso.

Passo 2

Para encontrarmos o valor esperado para cada caso Ei, primeiro temos que ver o total de cada coluna:

100 + 120 =   220   s ã o   a l t a m e n t e   f i é i s

100 + 80 =   180   n ã o   s ã o   t ã o   f i é i s   a s s i m

220 + 180 =   4 00   t o t a l

Passo 3

Daí tiramos a proporção esperada em cada caso:

Para alta fidelidade:

220 400 = 55 %

Para baixa fidelidade:

180 400 = 45 %

Passo 4

Achando o valor esperado

E 1 = 0,55   .   200 = 110

E 2 = 0,45   .   200 = 90

Só precisamos fazer achar dois valores esperados pois os totais são iguais

Passo 5

Agora vamos aplicar os dados na estatística de teste:

X 2 = ∑ i = 1 s ( O i - E i ) 2 E i

X 2 = 100 - 110 2 110 + 120 - 110 2 110 + 100 - 90 2 90 + 80 - 90 2 90

X 2 = 0,909 + 0,909 + 1,111 + 1,111 = 4,04

Passo 6

Agora vamos achar na tabela da qui-quadrada o quantil 95% com (2-1).(2-1), isto é com 1 grau de liberdade

X 0,05,1 2 = 3,84

Passo 7

-

Comparando agora os dois valores encontrados temos que:

4,04 > 3,84

Logo a um nível de significância de 5% rejeitamos H0, isto é, temos evidência que a fidelidade ao produto depende do genêro.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #3

Faça o teste para um nível de significância 5%.

Passo 1

Aqui teremos que aplicar o teste de indepedência e ver se a resposta é independente do número de tentativas a um nível de significância 5%. Lembre-se que precisamos encontrar o valor esperado para cada caso.

Passo 2

Para encontrarmos o valor esperado para cada caso Ei, primeiro temos que ver o total de cada coluna:

62 + 36 + 12 = 110   f o r a m   r e s p o s t a s   e x c e l e n t e s

84 + 42 + 14 = 140   f o r a m   r e s p o s t a s   s a t i s f a t ó r i a s

24 + 22 + 24 = 70   f o r a m   r e s p o s t a s   i n s a t i s f a t ó r i a s

110 + 140 + 70 =   32 0   t o t a l

Passo 3

Daí tiramos a proporção esperada em cada caso:

Para respostas excelentes:

110 320 = 34,375 %

Para respostas satisfatórias:

140 320 = 43,75 %

Para respostas insatisfatórias:

70 320 = 21,875 %

Passo 4

Achando o valor esperado

E 1 = 0,34375   .   170 = 58,4375

E 2 = 0,34375   .   100 = 34,375

E 3 = 0,34375   .   50 = 17,1875

E 4 = 0,4375   .   170 = 74,375

E 5 = 0,4375   .   100 = 43,75

E 6 = 0,4375   .   50 = 21,875

E 7 = 0,21875   .   170 = 37,1875

E 8 = 0,21875   .   100 = 21,875

E 9 = 0,21875   .   50 = 10,9375

Nesse caso precisamos calcular todas os valores esperados pois os totais são diferentes

Passo 5

Agora vamos aplicar os dados na estatística de teste:

X 2 = ∑ i = 1 s ( O i - E i ) 2 E i

X 2 = 62 - 58,4375 2 58,4375 + 36 - 34,375 2 34,375 + 12 - 17,1875 2 17,1875 + 84 - 74,375 2 74,375 + 42 - 43,75 2 43,75 + 14 - 21,875 2 21,875 + 24 - 37,1875 2 37,1875 + 22 - 21,875 2 21,875 + 24 - 10,9375 2 10,9375

X 2 = 0,217 + 0,077 + 1,566 + 1,246 + 0,07 + 2,835 + 4,677 + 0,001 + 15,600 = 26,289

Passo 6

Agora vamos achar na tabela da qui-quadrada o quantil 95% com (3-1).(3-1), isto é com 4 graus de liberdade

X 0,05,4 2 = 9,49

Passo 7

-

Comparando agora os dois valores encontrados temos que:

26,289 > 9,49

Logo a um nível de significância de 5% rejeitamos H0, isto é, temos evidência que a fidelidade a resposta depende do número de tentativas.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #4

Faça o teste para um nível de significância 5%.

Passo 1

Aqui teremos que aplicar o teste de indepedência e ver se o tipo de cooperativa é independente do estado a um nível de significância 5%. Lembre-se que precisamos encontrar o valor esperado para cada caso. E olha que legal eles já calcularam a proporção pra gente.

Passo 2

Olhando a proporção para cada caso temos

Para consumidor:

24 %

Para produtor:

42 %

Para escola:

22 %

Para outras:

12 %

Passo 3

Achando o valor esperado

E 1 = 0,24   .   648 = 156

E 2 = 0,24   .   301 = 72

E 3 = 0,24   .   602 = 144

E 4 = 0,42   .   648 = 272

E 5 = 0,42   .   301 = 127

E 6 = 0,42   .   602 = 254

E 7 = 0,22   .   648 = 142

E 8 = 0,22   .   301 = 66

E 9 = 0,22   .   602 = 132

E 10 = 0,12   .   648 = 78

E 11 = 0,12   .   301 = 36

E 12 = 0,12   .   602 = 72

Nesse caso precisamos calcular todas os valores esperados pois os totais são diferentes

Passo 4

Agora vamos aplicar os dados na estatística de teste:

X 2 = ∑ i = 1 s ( O i - E i ) 2 E i

X 2 = 214 - 156 2 156 + 51 - 72 2 72 + 111 - 144 2 144 + 237 - 272 2 272 + 102 - 127 2 127 + 304 - 254 2 254 + 78 - 142 2 142 + 126 - 66 2 66 + 139 - 132 2 132 + 119 - 78 2 78 + 22 - 36 2 36 + 48 - 72 2 72

X 2 = 173,24

Passo 5

Agora vamos achar na tabela da qui-quadrada o quantil 95% com (3-1).(4-1), isto é com 6 graus de liberdade.

X 0,05,6 2 = 12,59

Passo 6

-

Comparando agora os dois valores encontrados temos que:

173,24 > 12,59

Logo a um nível de significância de 5% rejeitamos H0, isto é, temos evidência que o tipo de cooperativa depende estado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #5

Teste se existe dependência entre os fatores: tendência dos alunos a prosseguir os estudos e classe social dos entrevistados. Faça o teste para um nível de significância 10%.

Passo 1

Aqui teremos que aplicar o teste de indepedência e ver se a tendência a prosseguir os estudos é independente da classe social dos entrevistados a um nível de significância 10%. Lembre-se que precisamos encontrar o valor esperado para cada caso.

Passo 2

Daí tiramos a proporção esperada em cada caso:

Prentendem continuar:

800 2000 = 40 %

Não pretendem continuar:

1200 2000 = 60 %

Passo 3

Achando o valor esperado

E 1 = 0,4   .   400 = 160

E 2 = 0,4   .   500 = 200

E 3 = 0,4   .   1100 = 440

E 4 = 0,6   .   400 = 240

E 5 = 0,6   .   500 = 300

E 6 = 0,6   .   1100 = 660

Nesse caso precisamos calcular todas os valores esperados pois os totais são diferentes

Passo 4

Agora vamos aplicar os dados na estatística de teste:

X 2 = ∑ i = 1 s ( O i - E i ) 2 E i

X 2 = 200 - 160 2 160 + 220 - 200 2 200 + 380 - 440 2 440 + 200 - 240 2 240 + 280 - 300 2 300 + 720 - 660 2 660

X 2 = 10 + 2 + 8,182 + 6,667 + 1,333 + 5,455 = 33,637

Passo 5

Agora vamos achar na tabela da qui-quadrada o quantil 90% com (2-1).(3-1), isto é com 2 graus de liberdade

X 0,1 , 2 2 = 4,61

Passo 6

Comparando agora os dois valores encontrados temos que:

33,637 > 4,61

Logo a um nível de significância de 10% rejeitamos H0, isto é, temos evidência que a tendência de prosseguir os estudos depende da classe social.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #6

Teste se existe dependência entre os fatores: preferência do adoçante e genêro. Faça o teste para um nível de significância 10%.

Passo 1

Aqui teremos que aplicar o teste de indepedência e ver se a preferência do adoçante é independente do gênero dos entrevistados a um nível de significância 10%. Lembre-se que precisamos encontrar o valor esperado para cada caso.

Passo 2

Para encontrarmos o valor esperado para cada caso Ei, primeiro temos que ver o total de cada coluna:

5 0 + 150 =   2 0 0   p r e f e r e m   A

110 + 42 = 152   p r e f e r e m   B

4 0 + 8 = 48   e s t ã o   i n d e c i s o s

200 + 152 + 48 = 40 0   t o t a l

Passo 3

Daí tiramos a proporção esperada em cada caso:

Preferem A:

200 400 = 5 0 %

Preferem B:

152 400 = 38 %

Indecisos:

48 400 = 12 %

Passo 4

Achando o valor esperado

E 1 = 0 , 5   .   2 00 = 1 0 0

E 2 = 0 , 38   .   20 0 = 76

E 3 = 0 , 12   .   200 = 2 4

Nesse caso não precisamos calcular todas os valores esperados pois os totais são iguais.

Passo 5

Agora vamos aplicar os dados na estatística de teste:

X 2 = ∑ i = 1 s ( O i - E i ) 2 E i

X 2 = 5 0 - 1 0 0 2 10 0 + 110 - 76 2 76 + 40 - 24 2 24 + 150 - 100 2 100 + 42 - 76 2 76 + 8 - 24 2 24

X 2 = 25 + 15,21 + 10,667 + 25 + 15,21 + 10,667 = 101 , 7 54

Passo 6

Agora vamos achar na tabela da qui-quadrada o quantil 90% com (2-1).(3-1), isto é com 2 graus de liberdade

X 0 , 1 , 2 2 = 4,61

Passo 7

-

Comparando agora os dois valores encontrados temos que:

101 , 7 54 > 4,61

Logo a um nível de significância de 10% rejeitamos H0, isto é, temos evidência que a preferência pelo adoçante depende do genêro.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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