Teste para coeficiente de correlação
Teoria
Agora vamos para o último teste galera! Aehoooo! Mas sinto-lhes informar esse é o mais diferente de todos.
Vocês lembram do coeficiente de correlação? Aquele ρ? Então senão lembra vou dar uma resumida aqui mas é importante voltar na matéria para saber direitinho quem é ele.
Então o coeficiente de correlação é um número que varia de -1 a 1, que diz o quanto uma variável é linearmente correlacionada com a outra. Sendo quanto mais próximo de -1 as variáveis têm uma correlação inversamente proporcional, quanto mais próximo a 1 elas tem uma correlação proporcional e quanto mais próximo de 0 menos correlação linear.
Este ρ é o coeficiente de correlação da população, que dificilmente sabemos então geralmente usamos o r que é seu estimador:
Tá tá, tudo isso você sabe mas por que eu to falando disso agora? Porque podemos fazer dois testes com essa estatística: Se ρ = 0 ou se ρ = ρ0.
- ρ = 0
- ρ = ρ0
O caso mais tranquilo:
Imagina a seguinte situação queremos testar se existe correlação entre o número de torcedores de um time e sua pontuação no último campeonato, para isso selecionamos, cinco times ao acaso:
Escolhemos como hipóteses:
A estatística de teste é um pouco estranha mas é mais bonita que o caso abaixo, sem pânico:
Que tem uma distribuição muito próxima da t de student com n-2 graus de liberdade, e para esse caso teremos t(3) pois temos 5 times.
Rejeitaremos a hipótese nula, a um nível de significância 0,10, quando
Calculando o coeficiente de correlação da amostra, isto é, o r:
Relembrando que a fórmula do r tá aí em cima.
Aplicando em t:
Como 0,4764 está contido no intervalo [-2,353; 2,353] não rejeitamos H0, isto é temos evidência que a correlação não existe.
Imagine a seguinte situação: Em uma escola, o coeficiente de correlação entre os alunos que iam mais a aula e suas notas nas provas, era 0,8. Aí foram contratados professores melhores e mais caros. Ao pegar uma amostra de 30 alunos com esses novos professores o coeficiente de correlação foi 0,9. Você diria que houve uma melhora significativa?
Escolhemos como hipóteses:
A estatística de teste será um pouco estranha mas nada que não podemos trabalhar:
Que tem uma distribuição muito próxima de uma Normal N(μ,σ²), onde:
Para esse caso teremos:
Rejeitaremos a hipótese nula, a um nível de significância 0,05, quando
Calculando t, para r=0,9
Como 1,472>1,417 rejeitamos H0, isto é temos evidência que a correlação aumentou com os novos professores.
Acabou aqui? Não! Podemos como temos evidências que a correlação aumentou, podemos calcular um intervalo de confiança para essa nova correlação.
Precisamos achar dois valores tais que a:
Então o intervalo para será:
Onde já calculamos o φ, também já temos o , e o precisamos definir um nível para olharmos na tabela, que tal α = 0,05. Logo:
Então para acharmos o intervalo de ρ, precisamos lembrar da relação entre
Aplicando aos valores de μ encontrados no IC acima
Logo o IC(ρ;0,95)=[0,79; 0,95]
Mas para o caso ρ = 0 é igual? É! Agora é só fazer os exercícios e correr pro abraço
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Faça o teste para um nível de significância 2%.
Passo 1
Neste exercício teremos que aplica o teste de correlação para vermos se existe correlação entre as disciplinas, isto é, o caso ρ = 0.
Passo 2
Primeiramente vamos encontrar a região crítica, e para isso bastar olharmos na tabela t de student, 10 G.L e o nível de 1%, pois é bilateral então é alfa dividido por dois.
Passo 3
Nesse exercício demos sorte, pois ele nos fornece o r, então basta aplicarmos na nossa estatístca de teste:
- "Como 2,371 está contido no intervalo [-2,764; 2,764], não rejeitamos a hipótese, isto é, a um nível de significância 2% temos evidência que a correlação não existe.
"Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #2
Faça o teste para um nível de significância 5%.
Passo 1
Neste exercício teremos que aplica o teste de correlação para vermos se existe correlação entre o volume de uma carga e o tempo gasto, isto é, o caso ρ = 0.
Passo 2
Primeiramente vamos encontrar a região crítica, e para isso bastar olharmos na tabela t de student, 7 G.L e o nível de 2,5%, pois é bilateral então é alfa dividido por dois.
Passo 3
Agora precisamo calcular o r, por aquela fómula que é grande.
Passo 4
Agora basta aplicarmos na nossa estatístca de teste:
Passo 5
Como 12,8647 não está contido no intervalo [-2,365; 2,365], rejeitamos a hipótese, isto é, a um nível de significância 5% temos evidência que a correlação existe.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #3
Faça o teste para um nível de significância 5%.
Passo 1
Neste exercício teremos que aplica o teste de correlação para vermos se existe correlação entre o número de clientes e os anos de experiência de agentes de seguros, isto é, o caso ρ = 0.
Passo 2
Primeiramente vamos encontrar a região crítica, e para isso bastar olharmos na tabela t de student, 3 G.L e o nível de 2,5%, pois é bilateral então é alfa dividido por dois.
Passo 3
Agora precisamo calcular o r, por aquela fómula que é grande.
Passo 4
Agora basta aplicarmos na nossa estatístca de teste:
Passo 5
Como 5,254 não está contido no intervalo [-3,182; 3,182], rejeitamos a hipótese, isto é, a um nível de significância 5% temos evidência que a correlação existe.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #4
Faça o teste para um nível de significância 5%.
Passo 1
Neste exercício teremos que aplica o teste de correlação para vermos se a correlação entre a nota final num curso de treinamento de operários e a sua produtividade aumentou, isto é, o caso ρ = ρ0.
Passo 2
Primeiramente temos que encontrar os parâmetros da normal que rege nossa estatística de teste e eles são:
Passo 3
Agora vamos encontrar a região crítica do teste pela Normal que encontramos acima:
Passo 4
Encontrando o valor para a estatística de teste agora temos:
Passo 5
Como , não rejeitamos a hipótese, isto é, a um nível de significância 5% não temos evidência que a correlação aumentou.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #5
Teste a hipótese ρ = 0, para um nível de significância 5%.
Passo 1
Neste exercício teremos que aplica o teste de correlação para vermos se existe correlação entre o salário de maridos e o salário de esposas, isto é, o caso ρ = 0.
Passo 2
Primeiramente vamos encontrar a região crítica, e para isso bastar olharmos na tabela t de student, 8 G.L e o nível de 2,5%, pois é bilateral então é alfa dividido por dois.
Passo 3
Agora precisamo calcular o r, por aquela fómula que é grande.
Passo 4
Agora basta aplicarmos na nossa estatístca de teste:
Passo 5
Como 1,2647 está contido no intervalo [-2,306; 2,306], não rejeitamos a hipótese, isto é, a um nível de significância 5% não temos evidência que a correlação existe.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercício Resolvido #6
Teste a hipótese ρ = 0, para um nível de significância 10%.
Passo 1
Neste exercício teremos que aplica o teste de correlação para vermos se existe correlação entre a participação em atividades esportativas e a cidade, isto é, o caso ρ = 0.
Passo 2
Primeiramente vamos encontrar a região crítica, e para isso bastar olharmos na tabela t de student, 2 G.L e o nível de 5%, pois é bilateral então é alfa dividido por dois.
Passo 3
Agora precisamo calcular o r, por aquela fómula que é grande.
Passo 4
Agora basta aplicarmos na nossa estatístca de teste:
Passo 5
Como 1,2216 está contido no intervalo [-2,920; 2,920], não rejeitamos a hipótese, isto é, a um nível de significância 10% não temos evidência que a correlação existe.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)