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Distribuição de Binomial e de Bernoulli

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Teoria

Opa, seja bem vindo ao Responde Aí! Bora bater um papo sobre as distribuições Binominal e de Bernoulli?!

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Distribuição Binomial

A distribuição binominal é uma distribuição de probabilidade discreta que considera o número de sucessos em tentativas, onde:

  • Em cada tentativa existe apenas a possibilidade de sucesso ou fracasso;
  • As tentativas são independentes entre si, assim como a probabilidade de sucesso em cada uma;
  • Estamos interessados no número de sucessos, nas tentativas.

Por exemplo, imagina que você tem que fazer uma prova objetiva com questões onde cada uma tem opções. Mas você não estudou nada, então vai ter que chutar todas! Quantas questões você pode acertar na sorte?!

Nesse caso podemos dizer que:

  • Em cada tentativa existe apenas a possibilidade de sucesso ou fracasso;
    • Onde sucesso é acertar a questão e fracasso é errar;
  • As tentativas são independentes entre si, assim como a probabilidade de sucesso em cada uma;
    • Ou seja, se você acertou as primeiras questões, isso não afeta a probabilidade de você também acertar a quarta, por exemplo.
  • Estamos interessados no número de sucessos, nas tentativas.
    • A gente quer saber quantas questões podemos acertar no total! 😉

Função de Probabilidade

A função de probabilidade da Binomial é dada por:

Onde:

  • número de sucessos que queremos;
  • número total de possibilidades
  • probabilidade de sucesso

Esse termo de combinatória surge já que existem várias combinações possíveis para os sucessos, podemos:

Usamos então:

Para indicar que segue o modelo Binomial com e repetições.

Distribuição de Bernoulli

A distribuição de Bernoulli é um modelo teórico usado para representar uma variável aleatória discreta que só pode resultar em dois eventos mutuamente exclusivos que são “sucesso” ou “fracasso”. Por exemplo:

  • Na hora de chutar a questão da prova, a gente só quer saber se vai acertar ou errar.
  • Na hora de tomar uma cerveja, a gente se preocupa se ela vai tá gelada ou quente.
  • Na hora de escolher o professor da faculdade, a gente procura saber se ele é mamata ou carrasco.

Nesses experimento então teremos 2 possíveis resultados:

  • SUCESSO, representado por
  • FRACASSO, representado por .

EXEMPLO: Em uma questão objetiva com 5 opções, qual seria a probabilidade de acerto ao responder a pergunta com um chute?

Nesse caso a variável aleatória é:

ã

Tendo como sucesso acertar a questão, temos:

Sempre que a variável aleatória permitir apenas sucesso ou fracasso, seguirá o modelo de Bernoulli e diremos que:

Ou seja:

Podemos determinar também com isso o valor esperado, e a variância, :

Agora vamos praticar com exercícios?

Distribuição de Bernoulli

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,151-21

Se X   ~   b ( n , p ) , sabendo-se que E x = 12   e σ 2 = 3 , determinar:

a) n

b) p

c) P X < 12

d) P ( X ≥ 14 )

e) E(Z) e Var(Z), onde Z = X - 12 3  

f) P ( Y ≥ 14 16 ) , onde Y = X / n

g)   P ( Y ≥ 12 16 ) , onde Y = X / n

Passo 1

a e b)

Temos uma distribuição binomial certo?

O enunciado nos diz que seus parâmetros são n e p onde n é a quantidade de vezes que estamos repetindo o experimento.

Como podemos encontrar os valores e n e p ?

Se você reparar, no enunciado nos dá a informação de que E x = 12   e σ 2 = 3 .

Mas o qual a relação dos parâmetros com esses termos?

Na binomial temos a seguinte equação:

E X = n p

V a r X = n p ( 1 - p )

Igualando então teremos:

E X = n p = 12

V a r X = n p 1 - p = 3  

Um sisteminha, certo? Vamos resolver pelo método da substituição:

V a r X = 12 . 1 - p = 3

1 - p = 3 12

1 - p = 1 4

Portanto,

p = 3 4

Assim,

n p = 12

n . 3 4 = 12

n = 16

Beleza?!

Passo 2

c) P ( X < 12 )

Queremos X < 12 ,     ou seja temos que fazer:

P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + … + P ( X = 11 )

Concorda?!

Temos que pela fórmula da binomial

P X = x = n x p x 1 - p n - x

Beleza?!

Se ficou confuso de onde veio isso, o sentido de cada termo dá uma olhadinha ali na teoria :D

Se ele quer a soma dessas probabilidades iremos fazer um somatório:

P X < 12 = P X = 1 + … + P X = 11

Então, vamos ter que calcular cada um dos termos do somatório utilizando a fórmula binomial, sacou? E já encontramos os valores de n = 16 e de p = 3 4 = 0,75 , beleza?!

Assim,

P X = 1 = 16 1 0,75 1 1 - 0,75 16 - 1

E faremos essas mesmas continhas de k = 1 até k = 11 ! Ficaremos com:

P X < 12 = 16 1 0,75 1 1 - 0,75 16 - 1 + … + 16 11 0,75 11 0,25 5

Podemos reescrever da seguinte maneira para resumir esse trambolhão:

P ( X < 12 ) = ∑ k = 1 11 16 k 0,75 k 1 - 0,75 16 - k

Fazendo as continhas, temos

P X < 12 = 0,3698

Passo 3

d) P ( X ≥ 14 )

Bom, agora queremos x ≥ 14   ou seja

P X = 14 + P X = 15 + P ( X = 16 )

Como já vimos na letra c vamos usar a seguinte fórmula:

P X ≥ 14 = ∑ k = 14 16 16 k 0,75 k 1 - 0,75 16 - k = 0,1971

Passo 4

e) E(Z) e Var(Z), onde Z = X - 12 3  

Sabemos que

E a X + b = a E X + b

Sendo

Z = X - 12 3 = 1 3 X - 12 3

Então podemos falar que:

a = 1 √ 3   e   b = 12 3

Assim teremos

E Z = 1 3 E X - 12 3

Como sabemos que E X = 12

E Z = 12 3 - 12 3 = 0

Agora vamos calcular Var(Z)

Sabemos também que

V a r a X + b = a 2 V a r ( X )

Portanto

V a r Z = 1 3 2 V a r X = 1 3 . 3 = 1

Passo 5

f) P ( Y ≥ 14 16 ) , onde Y = X / n

Sabemos pela letra a) que n = 16 portanto Y = X 16 . Assim o que queremos é:

P ( X 16 ≥ 14 16 )

Note que isso é a mesma coisa que

P ( X ≥ 14 )

Que é exatamente o que fizemos na alternativa d) e resulta em

P X ≥ 14 = 0,1971

Passo 6

g)   P ( Y ≥ 12 16 ) , onde Y = X / n

Novamente, como n = 16 → Y = X 16

Dessa forma queremos

P ( X 16 ≥ 12 16 )

Que é exatamente igual a

P ( X ≥ 12 )

Como já calculamos P X < 12 a esperteza aqui é lembrar daquela propriedade de complementar lembram? Podemos falar que:

P X ≥ 12 = 1 - P ( X < 12 )

P X ≥ 12 = 1 - 0,3698 = 0,6302

Resposta

a) 16

b) 3 4

c)   0,3698

d)   0,1971

e)   1

f)   0,6302

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P1-2013.2-4

Em um histórico de provas P1 de PROBEST sabe-se que 5 %   dos alunos faltam no dia da prova. O professor decide fazer a prova em uma sala onde tem 57 lugares e a turma para fazer a prova é de 61 alunos.

Qual a probabilidade de que não haverá lugar suficiente para todos os alunos?

Passo 1

Acompanha comigo... a gente tem uma turma com 61 alunos e a gente sabe que a probabilidade de qualquer aluno faltar a prova é de 5 % .

Vamos analisar uma v.a. que represente o número de alunos que vão faltar a prova. Nesse caso, podemos dizer que:

X   ~   B i n o m i a l   61   ; 0,05

Concorda? Probabilidade p de sucesso igual a 5 % e n = 61   alunos.

Passo 2

A sala só tem 57   lugares e queremos calcular a probabilidade de que não haverá lugar suficiente para todos os alunos fazerem a prova.

Pra que não haja lugar, concorda que temos que ter somente 3 ou menos alunos faltoso? Porque se tiver 4   alunos faltando, vamos ter 57 alunos e 57 lugares, então tem que ter menos faltosos, que aí vai ter mais aluno que lugar.

Então chegamos a um consenso de que temos que calcular...

P X ≤ 3 =   ?

Passo 3

A gente sabe que:

P X ≤ 3 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3

E pra cada caso é só substituir na função de distribuição da Binomial que é essa aqui;

P X = k = n k p k 1 - p n - k

Passo 4

Aplicando...

P X = 0 = 61 0 0,05 0 0,95 61 = 0,0438

P X = 1 = 61 1 0,05 1 . 0,95 60 = 0,1405

P X = 2 = 61 2 0,05 2 . 0,95 59 = 0,2219

P X = 3 = 61 3 0,05 3 . 0,95 58 = 0,2296

Passo 5

Com isso,

P X ≤ 3 = 0,0438 + 0,1405 + 0,2219 + 0,2296

= 0,6358

Resposta

63,58 %

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P1-2015.1-5F

Os quadros abaixo, correspondem aos resultados das alturas dos alunos medidas em metros, matriculados em uma das turmas na matéria PROBEST 2013-2:

Dados Pareto:

  1. Se a probabilidade de um aluno de probest faltar à aula é de 5% e supondo que os alunos faltem às aulas de maneira independente entre si e no tempo, qual a chance de, nessa turma, o professor não ter nenhum aluno presente em um determinado dia de aula?

Passo 1

(a)

De acordo com nossa tabela de análise descritiva, temos que a contagem de elementos foi igual a 55 , isso quer dizer que o total de alunos é de 55 e a probabilidade de algum faltar é de 5 % . Se X é a v.a. que representa o nº de alunos que faltam aula.

X   ~   B i n ( 55 ; 0,05 )

Pra gente calcular a probabilidade do professor não ter aluno nenhum pra dar aula, temos que calcular P ( X = 55 ) , probabilidade dos 55 alunos faltarem.

Só usar a função de probabilidade da Binomial.

P X = 55 = 55 55 . 0,05 55 . 1 - 0,05 0

= 0,05 55                            

P X = 55 = 2,77 × 10 - 72

Bem baixa essa probabilidade, alunos muito dedicados.

Resposta

2,77 × 10 - 72

Exercício Resolvido #4

UFRJ-P1-2015.1-2BC

Em um pequeno restaurante gourmet existem 4 mesas para os seus clientes. Com base no que se vem observando, a gerência sabe que, todos os dias, as 4 mesas serão reservadas e que a chance de comparecimento de alguém que tenha reservado uma mesa é sempre igual a uma mesma constante p . O comparecimento de qualquer cliente é independente do comparecimento dos demais. A distribuição acumulada de X , número de clientes com reserva que comparecem, é:

(b)

Qual é o valor de p ?

(c)

Qual a probabilidade de que, durante os 3 dias de um fim de semana de trabalho, em exatamente 2 desses dias todos os clientes que fizeram reservas compareçam?

Passo 1

(b)

O enunciado diz que a probabilidade do cliente comparecer é sempre igual a uma mesma constante p e que o comparecimento de um cliente é independente do comparecimento dos demais. Hummm, esse texto aí te lembra de alguma distribuição? Binomial? Exato! E a gente precisava de uma distribuição né? Pra gente poder ter alguma fórmula pra achar esse maldito p aí.

A função de probabilidade da Binomial é:

P X = k = n k p k 1 - p n - k

O que a gente precisa agora é aplicar essa fórmula aí pro que a gente já tem e descobrir o p .

Passo 2

Por exemplo, a gente sabe que P X = 0 = 0,0016 .

Substituindo:

P X = 0 = 4 0 . p 0 . 1 - p 4

1 - p 4 = 0,0016

1 - p = 0,0016 4

1 - p = 0,2

p = 0,8

Passo 3

Tá, 3 dias de um final de semana, queremos a probabilidade de em exatamente 2 desses dias os 4 clientes que reservarem as mesas realmente apareçam.

Vou nomear uma variável pro que a gente quer:

Y → n º   d e   d i a s ,   n o   f i n a l   d e   s e m a n a ,   e m   q u e   t o d o s   o s   c l i e n t e s   c o m p a r e c e m

A primeira coisa que a gente precisa é a probabilidade de todos os 4 clientes comparecerem, que seria o nosso “sucesso”. E essa probabilidade a gente tem né, que é P X = 4 = 0,4096 .

Então:

p = 0,4096

A gente tem também que o final de semana tem 3 dias:

n = 3

Como a probabilidade de sucesso em cada dia é a mesma e igual a p e também os dias são independentes um dos outros, a gente pode dizer que Y segue uma binomial.

Y   ~   B i n 3 ; 0,4096

Passo 4

A gente quer que em exatamente dois dias isso aconteça.

P Y = 2 =   ?

Só aplicar a fórmula da função de probabilidade da Binomial.

P Y = 2 = 3 2 . 0,4096 2 . 0,5904 1

= 3 × 2 2 × 0,4096 ² × 0,5904 ¹

≅ 0,2972

Resposta

a   E X = 3,2   ; V a r X = 0,64

b   p = 0,8

c ≅ 0,2972

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Estabeleça as condições exigidas para se aplicar a distribuição binomial?

Qual é a probabilidade de 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta?

Qual é a probabilidade de menos que 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta?

Passo 1

Respondendo essa primeira pergunta aí!

Nós vimos que a distribuição binomial vai ser válida para toda vez que que existerem n tentativas de um evento que tem somente dois resultados possíveis, um de sucesso, e outro de fracasso. Não podemos esquecer que essas n tentativas devem ser independentes, que os eventos de sucesso e fracasso são mutuamente exclusivos e que a probabilidade p de sucesso deve ser constante.

Passo 2

Denonando cara como um sucesso, sabemos que a probabilidade de sucesso p é:

p = P K = 1 2 = 0,5

Se temos 5 lançamentos...

n = 5

Agora lembrando da fórmula da Binomial:

P X = k = n k p k 1 - p n - k

Queremos descobrir a probabilidade de termos 3 caras, então:

P X = 3 = 5 3 0,5 3 1 - 0,5 5 - 3 = 5 ! 3 ! × 5 - 3 ! × 0,03125 = 0,3125

Passo 3

Agora nós queremos:

P ( X < 3 )

Mas isso aí nada mais é que:

P X < 3 = P X = 2 + P X = 1 + P ( X = 0 )

Aplicando a fórmula da binomial para cada uma dessas três probabilidades e somando:

P X < 3 = 5 2 0,5 2 1 - 0,5 5 - 2 + 5 1 0,5 1 1 - 0,5 5 - 1 + 5 0 0,5 0 1 - 0,5 5 - 0

P X < 3 =   0,3125 +   0,15625 + 0,03125 = 0,5

Resposta

0,3125

0,5

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