Teoria

Transformação de Variável Aleatória Contínua

Fala Aí!! Digamos que a gente tenha o seguinte cenário:

  • Temos uma v.a. X com f x (função densidade) conhecida e X   é uma v.a. contínua;
  • Queremos calcular a função densidade de outra v.a. Y , sendo que:

Y = h ( X )

Onde h ( X ) é uma função conhecida.

Como podemos atacar um problema como esse?

Resumindo o nosso problema: partir de uma f ( x ) e sabendo a relação entre X e Y , vamos mostrar aqui métodos para calcular a f ( y ) . Beleza?!

São exatamente nessas situações que vamos ter que usar a transformação de V.A. Contínuas!

Vamos ter dois métodos diferentes de resolver:

  • Método da função de distribuição;
  • Método do Jacobiano.

Vou pegar um mesmo exemplo e resolver ele nos dois métodos pra gente ver a diferença, ok?

Vamos lá, digamos que eu tenho uma v.a. X com a seguinte função de densidade:

X = 5 - 12,5 . x ,                               s e   0 ≤ x ≤ 0,4 0 ,                                                           c a s o   c o n t r á r i o

E a gente quer calcular para:

Y = 1000 . X

Método da função de distribuição:

A gente segue o passo a passo:

  • Calculamos a FDA de   Y ;
  • Derivamos a FDA para encontrarmos a função de densidade.

Se chamarmos de G ( y ) a FDA de Y , vamos ter:

G y = P Y ≤ y

Que é a idéia da função acumulada....

G y = P h X ≤ y

Mas nós sabemos que h X = 1000 . X , certo? Então substitui esse cara aí dentro:

G y = P h X ≤ y

G y = P 1000 . X ≤ y

Isolando o X :

G y = P X ≤ 0,001 . y

E lembra que para calcular uma FDA a gente sempre integra a função de densidade? Como isso aí em cima é uma FDA (sinal de , então temos uma probabilidade acumulada até certo ponto!), podemos dizer isso aqui:

G y = ∫ - ∞ 0,001 . y f x   d x

Indo até 0,001 y porque esse é o ponto máximo que nossa FDA está englobando, ela é sempre menor ou igual a 0001 y , lembra?

Agora fazemos para cada caso.

Lembrando que X está definido para valores em [ 0 ; 0,4 ] .

Como Y = 1000 . X , então Y vai estar definido no intervalo [ 0 ; 400 ] .

Para y < 0 :

G y = ∫ - ∞ 0,001 . y 0   d x = 0

Para 0 ≤ y ≤ 400 :

G y = ∫ - ∞ 0 0   d x + ∫ 0 0,001 . y 5 - 12,5 . x     d x

Integrando isso aí temos:

G y = 400 y - 0,5 y 2 80000

Para y > 400 :

G y = 400 y - 0,5 y 2 80000 | y = 400 + ∫ 0,4 0,001 . x 0   d x

G y = 1

Então nossa FDA será:

G y = 0 ,                                                                   s e   y ≤ 0 400 y - 0,5 y 2 80000 ,                                           s e   0 ≤ y ≤ 400 1 ,                                                                               s e   y ≥ 400

Pra finalizar, derivamos:

Para y ≤ 0 e y ≥ 400 as derivadas dão zero, e então o valor da função de densidade será g y = 0 .

Para 0 ≤ y ≤ 400 :

g y = d G y d y = 400 - y 80000

Desse jeito, temos:

g y = 400 - y 80000   ,     s e   0 < y ≤ 400 0   ,                                             c a s o   c o n t r á r i o

Beleza?!

Método do Jacobiano

Às vezes é muito difícil inverter a função, isolar x , e derivar. No método do Jacobiano resolve esse problema. De acordo com o método, a função de densidade de Y será:

g y = f x . d x d y

Aplicando isso pro nosso mesmo exemplo:

Primeiro podemos calcular a derivada d x d y , sabemos que:

Y = 1000 . X       →       x = 0,001 . y

derivando temos:

d 0,001 . y d y = 0,001

Analisando nossa f x temos:

f x = f 0,001 y = 5 - 12,5 . 0,001 y = 5 - 0,0125 y

Vamos calcular g y , seguindo o método do Jacobiano:

g y = f x . d x d y

g y = 5 - 0,0125 y × 0,001

g y = 5 - 0,0125 y 1000

Dividindo todo mundo por 0,0125 a gente encontra o mesmo resultado que pelo outro método.

g y = 400 - y 80000   ,     s e   0 < y ≤ 400 0   ,                                             c a s o   c o n t r á r i o

Mais tranquilo, né?

Mas no final das contas é quase a mesma coisa.

Vantagens e Desvantagens: O método da função de distribuição é mais geral, serve pra qualquer tipo de transformação. Porém, às vezes é meio difícil escrever a função de distribuição de Y e derivar, então temos o método do Jacobiano. Maaas... como nem tudo é perfeito, o método do jacobiano só pode ser aplicado a funções ( Y = h X ) injetoras.

Pra finalizar, vou falar rapidinho de uma transformação importante:

Y = X 2

Vamos fazer pelo primeiro método:

G y = P Y ≤ y = P X 2 ≤ y

= P - y ≤ X ≤ y

= F y - F - y

Agora a gente deriva:

g y = d G y d y

= y - 1 2 2 . f y - - y - 1 2 2 . f - y

Viu? Derivada da F ( x ) é a f ( x ) , só não pode esquecer de derivar o que tá dentro também, a raiz.

= 1 2 y . f y + 1 2 y . f - y

g y = 1 2 y . f y + f - y

Não precisa decorar isso não, mas é bom já ter visto e entender. Nos exercícios a gente trabalha um exemplo disso... Beleza?!

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