Transformação de V.A. Contínuas

Teoria

Transformação de Variável Aleatória Contínua

Fala Aí!! Digamos que a gente tenha o seguinte cenário:

Temos uma v.a. com (função densidade) conhecida e é uma v.a. contínua;
Queremos calcular a função densidade de outra v.a. , sendo que:

Onde é uma função conhecida.

Como podemos atacar um problema como esse?

Resumindo o nosso problema: partir de uma e sabendo a relação entre e , vamos mostrar aqui métodos para calcular a . Beleza?!

São exatamente nessas situações que vamos ter que usar a transformação de V.A. Contínuas!

Vamos ter dois métodos diferentes de resolver:

Método da função de distribuição;
Método do Jacobiano.

Vou pegar um mesmo exemplo e resolver ele nos dois métodos pra gente ver a diferença, ok?

Vamos lá, digamos que eu tenho uma v.a. com a seguinte função de densidade:

E a gente quer calcular para:

Método da função de distribuição:

A gente segue o passo a passo:

Calculamos a FDA de;
Derivamos a FDA para encontrarmos a função de densidade.

Se chamarmos de a FDA de , vamos ter:

Que é a idéia da função acumulada....

Mas nós sabemos que , certo? Então substitui esse cara aí dentro:

Isolando o :

E lembra que para calcular uma FDA a gente sempre integra a função de densidade? Como isso aí em cima é uma FDA (sinal de , então temos uma probabilidade acumulada até certo ponto!), podemos dizer isso aqui:

Indo até porque esse é o ponto máximo que nossa FDA está englobando, ela é sempre menor ou igual a , lembra?

Agora fazemos para cada caso.

Lembrando que está definido para valores em .

Como , então vai estar definido no intervalo .

Para :

Integrando isso aí temos:

Para :

Então nossa FDA será:

Pra finalizar, derivamos:

Para e as derivadas dão zero, e então o valor da função de densidade será .

Para :

Desse jeito, temos:

Beleza?!

Método do Jacobiano

Às vezes é muito difícil inverter a função, isolar , e derivar. No método do Jacobiano resolve esse problema. De acordo com o método, a função de densidade de será:

Aplicando isso pro nosso mesmo exemplo:

Primeiro podemos calcular a derivada , sabemos que:

derivando temos:

Analisando nossa temos:

Vamos calcular , seguindo o método do Jacobiano:

Dividindo todo mundo por 0,0125 a gente encontra o mesmo resultado que pelo outro método.

Mais tranquilo, né?

Mas no final das contas é quase a mesma coisa.

Vantagens e Desvantagens: O método da função de distribuição é mais geral, serve pra qualquer tipo de transformação. Porém, às vezes é meio difícil escrever a função de distribuição de e derivar, então temos o método do Jacobiano. Maaas... como nem tudo é perfeito, o método do jacobiano só pode ser aplicado a funções injetoras.

Pra finalizar, vou falar rapidinho de uma transformação importante:

Vamos fazer pelo primeiro método:

Agora a gente deriva:

Viu? Derivada da é a , só não pode esquecer de derivar o que tá dentro também, a raiz.

Não precisa decorar isso não, mas é bom já ter visto e entender. Nos exercícios a gente trabalha um exemplo disso... Beleza?!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

PUCRIO-P2-2012.2-1d)

d) Na transformação de v.a. contínuas, existem dois métodos. Quais são eles? Quando usar um e o outro?

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, quais são os métodos?

Temos 2, método do jacobiano e método da função de distribuição...

Agora.. quando que usamos cada um? Aí ferrou né? Haha..

Como a gente viu, o método da função de distribuição é o mais geral, porque a gente pode usar pra qualquer tipo de função, injetoras ou não injetoras.

Aí você se pergunta se já que ele serve pra todas, porque que foram inventar outro né? Acho justo, também me pergunto isso às vezes.

Mas lembra, no método da função de distribuição a gente tem que mexer no e da função, isolando eles. E isso nem sempre é algo simples de fazer, lembra disso?

Aí temos o método do jacobiano..

Só que o método do jacobiano só pode ser usado para funções injetoras.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P1-2012.1-1D

Seja uma v.a. contínua com e , onde é o desvio padrão de . Se , quem é e .

Passo 1

Nessa questão a gente só precisa usar aquelas propriedades que a gente viu da esperança e da variância.

A gente tem que:

E que:

Passo 2

Primeiro vamos calcular .

Passo 3

A mesma coisa pro desvio padrão:

Resposta

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P1-2014.1-3

Seja “” uma variável contínua, onde:

O valor de “” para que a função da variável “” seja uma densidade – “”.
A função de distribuição da variável “” – “”.
Média da variável “” – “.
Variância da variável “” – “”.

Passo 1

(a)

Aqui, nada surreal, pra uma função ser de densidade a integral dela no intervalo que derem tem que dar 1. Vamos conferir isso então:

Isso tem que ser igual a 1.

Com isso:

Passo 2

(b)

Temos que calcular a função acumulada. Pra isso a gente tem que integrar de até .

Como o só está definido entre 0 e 2. A integral será 0.

Vamos integrar de 0 até .

sabendo disso, nossa FDA fica:

Passo 3

(c)

A média, ou esperança é calculada pela integral:

Passo 4

(d)

Calcular a variância, tá acabando, desconcentra não!

Sendo que:

Com isso:

Resposta

Exercício Resolvido #4

PUCRIO-P2-2011.2-3

Uma pessoa está viajando e pretende alugar um carro.

A distancia (em ) que ela irá percorrer diariamente é uma variável aleatória com densidade:

Existem duas opções de diárias de aluguel:

Opção : por rodado;
Opção : se rodar até e se rodar mais de num dia.

Ache os valores das opções e e diga qual das opções é mais vantajosa, em termos de apresentar o menor custo esperado de aluguel?

Passo 1

Vamos fazer opção por opção... primeiro a opção .

Qual seria a fórmula pro custo dela?

Onde é o número de rodados.

Passo 2

A gente quer calcular o valor esperado para o custo que nada mais é que .

Aplicando a propriedade da esperança...

Então precisamos calcular primeiro o valor esperado de rodados,

Passo 3

A gente tem a função densidade da distância, pra calcular a esperança é só usar a fórmula:

Nesse caso:

Passo 4

Agora é resolver integral...

Passo 5

Sabendo que ...

Esse é o custo esperado para a opção .

Passo 6

Agora para a opção vamos pensar um pouco diferente... pois não temos uma função que caracterize essa opção. O que a gente tem é que essa opção tem duas possibilidades, ou custa ou , dependendo da distância rodada...

Podemos dizer então que a variável que representa esse custo da segunda opção é uma v.a. discreta que pode assumir dois valores: ou .

Pra gente calcular a esperança dessa variável então nós temos que multiplicar os seus valores possíveis pela probabilidade da variável assumir cada um desses valores, entende o que eu digo? Na conta vai ficar mais claro.

Passo 7

Bom, vamos começar calculando a probabilidade do custo ser de reais, pra isso basta calcular a probabilidade da pessoa rodar no máximo até .

Tendo a função de densidade, é só ir integrar...

Que nesse caso fica assim...

Passo 8

Só conta..

Passo 9

Agora a probabilidade do custo ser de , vamos calcular a probabilidade da distância ser maior que .

Bom, não precisamos fazer aquela conta toda de novo. Concorda que a chance da pessoa percorrer mais que é igual a menos a chance dela percorrer menos?