Transformação de V.A. Contínuas
Produzido por Jorge Alberto NascimentoTeoria
Transformação de Variável Aleatória Contínua
Fala Aí!! Digamos que a gente tenha o seguinte cenário:
- Temos uma v.a. com (função densidade) conhecida e é uma v.a. contínua;
- Queremos calcular a função densidade de outra v.a. , sendo que:
Onde é uma função conhecida.
Como podemos atacar um problema como esse?
Resumindo o nosso problema: partir de uma e sabendo a relação entre e , vamos mostrar aqui métodos para calcular a . Beleza?!
São exatamente nessas situações que vamos ter que usar a transformação de V.A. Contínuas!
Vamos ter dois métodos diferentes de resolver:
- Método da função de distribuição;
- Método do Jacobiano.
Vou pegar um mesmo exemplo e resolver ele nos dois métodos pra gente ver a diferença, ok?
Vamos lá, digamos que eu tenho uma v.a. com a seguinte função de densidade:
E a gente quer calcular para:
Método da função de distribuição:
A gente segue o passo a passo:
- Calculamos a FDA de;
- Derivamos a FDA para encontrarmos a função de densidade.
Se chamarmos de a FDA de , vamos ter:
Que é a idéia da função acumulada....
Mas nós sabemos que , certo? Então substitui esse cara aí dentro:
Isolando o :
E lembra que para calcular uma FDA a gente sempre integra a função de densidade? Como isso aí em cima é uma FDA (sinal de , então temos uma probabilidade acumulada até certo ponto!), podemos dizer isso aqui:
Indo até porque esse é o ponto máximo que nossa FDA está englobando, ela é sempre menor ou igual a , lembra?
Agora fazemos para cada caso.
Lembrando que está definido para valores em .
Como , então vai estar definido no intervalo .
Para :
Para :
Integrando isso aí temos:
Para :
Então nossa FDA será:
Pra finalizar, derivamos:
Para e as derivadas dão zero, e então o valor da função de densidade será .
Para :
Desse jeito, temos:
Beleza?!
Método do Jacobiano
Às vezes é muito difícil inverter a função, isolar , e derivar. No método do Jacobiano resolve esse problema. De acordo com o método, a função de densidade de será:
Aplicando isso pro nosso mesmo exemplo:
Primeiro podemos calcular a derivada , sabemos que:
derivando temos:
Analisando nossa temos:
Vamos calcular , seguindo o método do Jacobiano:
Dividindo todo mundo por 0,0125 a gente encontra o mesmo resultado que pelo outro método.
Mais tranquilo, né?
Mas no final das contas é quase a mesma coisa.
Vantagens e Desvantagens: O método da função de distribuição é mais geral, serve pra qualquer tipo de transformação. Porém, às vezes é meio difícil escrever a função de distribuição de e derivar, então temos o método do Jacobiano. Maaas... como nem tudo é perfeito, o método do jacobiano só pode ser aplicado a funções injetoras.
Pra finalizar, vou falar rapidinho de uma transformação importante:
Vamos fazer pelo primeiro método:
Agora a gente deriva:
Viu? Derivada da é a , só não pode esquecer de derivar o que tá dentro também, a raiz.
Não precisa decorar isso não, mas é bom já ter visto e entender. Nos exercícios a gente trabalha um exemplo disso... Beleza?!