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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas Teóricos - Ex. 14

(a) Duas funções de onda (não-normalizadas) de estado excitados de átomo de H são

i ψ = 2 - r a 0 e - r a 0               i i   ψ = r   s e n θ c o s ϕ   e - r 2 a 0

Normalize as duas funções. (b) Confirme que essas duas funções são ortogonais.

Passo 1

Opaaaaa, gente!!! Bora que bora resolver esse problema de quântica lindão aí?

Bem, o enunciado já diz pra gente o que precisamos fazer, ou seja, na letra (a) a gente precisa normalizar. E pra isso a gente vai partir da definição de normalização que é:

∫ N ψ * N ψ d τ = 1

Passo 2

(a) Então vamos que vamos resolver nossa integral, beleza?

ψ = N 2 - r a 0 e - r 2 a 0

ψ 2 = N 2 2 - r a 0 2 e - r a 0

∫ ψ 2 d τ = N 2 ∫ 0 ∞ 4 r 2 - 4 r 3 a 0 + r 4 a 0 2 e - r a 0   d r   ∫ 0 π s e n θ d θ   ∫ 0 2 π   d ϕ

= N 2 4 × 2 a 0 3 - 4 × 6 a 0 4 a 0 + 24 a 0 5 a 0 2 × 2 × 2 π = 32 π a 0 3 N 2

Consequentemente, temos que

N = 1 32 π a 0 3 1 2

Passo 3

Vamos fazer a mesma coisa pra outra função de onda, ou seja ψ = N r   s e n θ c o s ϕ e - r 2 a 0

∫ ψ 2 d τ = N 2 ∫ 0 ∞ r 4 e - r a 0 d r ∫ 0 π s e n 2 θ   s e n θ   d θ   ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ   d ϕ

= N 2 4 ! a 0 5 ∫ - 1 1 ( 1 - cos 2 ⁡ θ ) d   c o s θ × π

= N 2 4 ! a 0 5 2 - 2 3 π = 32 π a 0 5 N 0 2

Consequentemente,

N = 1 32 π a 0 5 1 2

Passo 4

(b) As funções serão ortogonais se as seguintes integrais, as quais usam as funções de onda NÃO normalizadas, tiverem valor zero!!!

∫ ψ 1 ψ 2   d τ = ∫ 2 - r a 0 e r 2 a 0 r   s e n θ   c o s ϕ   e r 2 a 0 d τ

= ∫ 0 ∞ 2 r - r 2 a 0 e r a 0 d r   ∫ 0 π s e n 2 θ   d θ   ∫ 0 2 π c o s ϕ d ϕ

∫ 0 2 π c o s ϕ d ϕ = s e n ϕ ​ 0 2 π = s e n 2 π - s e n 0 = 0 - 0 = 0

Portanto, as funções são ortogonais.

Resposta

(a) N = 1 32 π a 0 3 1 2

N = 1 32 π a 0 5 1 2

(b) São ortogonais

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