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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 39.5 - Ex. 53

A equação de Schrodinger para os estados do átomo de hidrogênio nos quais o número quântico orbital λ é zero é

1 r 2 d d r r 2 d ψ d r + 8 π 2 m h 2 E - U ( r ) ψ = 0

Verifique que a equação 39-39, que descreve o estado fundamental do átomo de hidrogênio, é uma solução dessa equação.

Passo 1

A equação 39-39 é:

ψ = 1 π a 3 / 2   e - r / a

Para verificar que essa equação é uma solução para equação de Schroginger para o estado do átomode hidrogênio vamos começar derivando ψ em relação a r .

d ψ d r = 1 π a 5 / 2   e - r / a

Multiplicando por r 2 dos dois lados:

r 2 d ψ d r = r 2 π a 5 / 2   e - r / a

Calculando 1 r 2 d d r r 2 d ψ d r , obtemos:

1 r 2 d d r r 2 d ψ d r = 1 π a 5 / 2   - 2 r + 1 a e - r / a = 1 a - 2 r + 1 a ψ

Passo 2

A energia no estado fundamental é dada por:

E = - m e 4 8 ϵ 0 2 h 2

E o raio de Bohr é dado por:

a = h 2 ϵ 0 π m e 2

Juntando as duas equações a energia fica:

E = - e 2 8 π ϵ 0 a

A energia potencial é dada por:

U = - e 2 4 π ϵ 0 r

Passo 3

Juntando tudo que obtemos no passo 1 e no passo 2 e substituindo na equação dada no enunciado

1 r 2 d d r r 2 d ψ d r + 8 π 2 m h 2 E - U ( r ) ψ = 0

obtemos:

1 a - 2 r + 1 a ψ - 8 π 2 m h 2 - e 2 8 π ϵ 0 a - - e 2 4 π ϵ 0 r ψ = 0

1 a - 2 r + 1 a ψ - 8 π 2 m h 2 e 2 8 π ϵ 0 - 1 a + 2 r ψ = 0

1 a - 2 r + 1 a ψ - π m e 2 h 2 ϵ 0 - 1 a + 2 r ψ = 0

1 a - 2 r + 1 a ψ - 1 a - 1 a + 2 r ψ = 0

0 = 0

O que mostra qua o ψ proposto é uma solução.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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