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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas Teóricos - Ex. 19

19 – Estime a energia cinética da partícula com a função de onda dada no Problema 8.18.

ψ = cos ⁡ ( χ ) e i k x + s e n χ e - i k x

Passo 1

Vamos relembrar que a energia cinética de uma partícula pode ser estimada em termos do momento linear pela seguinte expressão

E K = p 2 2 m

O momento linear p, pela eq. 8.26, é dado pela seguinte expressão:

p = ħ i d d x

Assim,

p 2 = ħ 2 i 2 d 2 d x 2

Sendo

i 2 = - 1

Logo,

p 2 = - ħ 2 d 2 d x 2

Passo 2

Vamos ter que calcular a energia cinética média da partícula para a função de onda ψ, que pode ser estimada pela seguinte relação

E K = N 2 ∫ ψ * E K ψ d x

Sendo,

E K = p 2 2 m

Assim,

E K = N 2 ∫ ψ * p 2 2 m ψ d x

Onde, N é a cte de normalização definida por

N 2 ∫ ψ * ψ d x = 1

N 2 = 1 ∫ ψ * ψ d x

Substituindo,

E K = 1 ∫ ψ * ψ d x ∫ ψ * p 2 2 m ψ d x

Passo 3

Sendo

p 2 ψ = - ħ 2 d 2 ψ d x 2

Onde,

ψ = cos ⁡ ( χ ) e i k x + s e n χ e - i k x

d 2 ψ d x 2 = d 2 d x 2 cos ⁡ χ e i k x + s e n χ e - i k x

d 2 ψ d x 2 = - k 2 cos ⁡ χ e i k x + s e n χ e - i k x

Substituindo,

p 2 ψ = - ħ 2 d 2 ψ d x 2 = ħ 2 k 2 cos ⁡ χ e i k x + s e n χ e - i k x

Substituindo na integral

E K = 1 ∫ ψ * ψ d x ∫ ψ * ħ 2 k 2 2 m cos ⁡ χ e i k x + s e n χ e - i k x d x

E K = ħ 2 k 2 2 m 1 ∫ ψ * ψ d x ∫ ψ * cos ⁡ χ e i k x + s e n χ e - i k x d x

Como

ψ = cos ⁡ ( χ ) e i k x + s e n χ e - i k x

Assim,

E K = ħ 2 k 2 2 m 1 ∫ ψ * ψ d x ∫ ψ * ψ d x

Logo,

E K = ħ 2 k 2 2 m

Resposta

E K = ħ 2 k 2 2 m

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