As funções de onda normalizadas para uma partícula confinada a se mover num circulo são: ψ ϕ = 1 2 π 1 2 e - i m ϕ , onde m = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , …   ,   e 0 ≤ ϕ ≤ 2 π . Determine ϕ .

Passo 1

Faaalaaaee jooveem!! Chega mais, bora de mais uma resoluçãozinha marota juntinho do RA! BOOraa!!

Sim... esse exercício está literalmente falando grego! É, a vida do jovem de exatas tem dessas de vez em quando!

Mas vamo com muita carma que a gente chega lá!

Seguinte, o que o exercício pede basicamente é o ângulo ϕ que vai representar pra gente como se fosse o período de uma função periódica(Seno, cosseno, etc..)

lembra? Quando a gente representava as marcações em 0, π 2 ,   π .... até onde quisermos...

É mais ou menos isso que temos aqui... uma função que para uma determinada posição que vai de 0 ≤ ϕ ≤ 2 π , ela assumirá valores para a função de onda.

Mas aqui, esse cara é chamado de operador, e o exercício quer que encontremos o valor esperado para esse operador; podemos obter isso da seguinte forma:

ϕ = ∫ ψ * ψ   ϕ   d τ

Passo 2

Vamos ter o seguinte,

ϕ = ∫ 0 2 π   e i m ϕ 2 π e - i m ϕ 2 π   ϕ   d ϕ

Parece o fim do mundo... mas repara que esses termos todos somem...

e - x e x = e 0 = 1

É exatamente essa situação que temos ali..

Ficará assim então:

ϕ = 1 2 π ∫ 0 2 π ϕ   d ϕ

Passo 3

Agora, mais fácil que isso impossível né?!

Bora resolver essa integralzinha:

ϕ = 1 2 π ϕ 2 2 0 2 π

Teremos:

ϕ = 1 4 π 4 π 2 = π

Traanquilidade demais!!

É só riscar e partir pra próxima!! Te vejo lá!!

Resposta

Portanto:

ϕ = π

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