Uma molécula de um gás diatômico é formada por dois átomos de massa m separados por uma distância fixa d , que giram em torno de um eixo, como mostra a Fig. 39-32. Supondo que o momento angular da molécula é quantizado da mesma forma que no modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, determine (a) as velocidades angulares permitidas e (b) as energias rotacionais permitidas.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

O primeiro passo para você resolver esse problema é escrever o momento angular do sistema. Para isso, achamos o momento de inércia com relação ao centro de massa:

I = m   d 2 2 + m   d 2 2 = m d 2 2

O momento angular é dado por

L = I ω = m d 2 ω 2

Já a energia cinética rotacional é dada por

K = 1 2 I ω 2 = 1 2 ⋅ m d 2 2 ⋅ ω 2

Portanto,

K = m d 2 ω 2 4

Passo 2

Vamos fazer a quantização do momento angular da mesma forma que Bohr fez para o átomo de hidrogênio:

L = n ℏ

Assim,

n ℏ = m d 2 ω 2

Portanto, as possíveis velocidades angulares são

ω = 2 ℏ n m d 2

Passo 3

Para achar as energias, basta substituir:

K = m d 2 4 ⋅ 2 ℏ n m d 2 2

Portanto,

K = ℏ 2 n 2 m d 2

Resposta

ω = 2 ℏ n m d 2

K = ℏ 2 n 2 m d 2

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