39 – Mencionamos no Impacto 19.2 que a partícula no interior de uma esfera é um ponto de partida razoável para a discussão das propriedades eletrônicas de nanopartículas metálicas esféricas. Justificamos aqui a eq. 9.54, que mostra que a energia de um elétron no interior de uma esfera é quantizada.

A) O hamiltoniano da partícula livre para se mover no interior de uma esfera de raio R é

Mostre que a eq. de Schrödinger é separável nas componentes radial e angular. Ou seja, comece escrevendo

Onde X(r) depende apenas da distância da partícula ao centro da esfera, e Y(θ, φ) é um harmônico esférico. Mostre, então, que a eq. de Schrödinger pode ser separada em duas eq’s, uma para X, a eq. radial, e outra para Y, a eq. angular:

Você pode consultar a Informação adicional 10.1 para uma ajuda a mais.

B) Considere o caso l = 0. Mostre, derivando, que a solução da eq. radial tem a forma

C) Mostre agora que os níveis de energia permitidos são dados por

Esse resultado para a energia também se aplica quando l diferente de zero.

Pegando a eq. de Schrödinger da forma como mostrada na eq. anterior e dividindo por XY:

Agora vamos multiplicar em ambos os lados por r2

Colocando todos os termos associados aos ângulos, onde tem Y, no lado direito da eq., e os associados a variável radial r no lado esquerdo da eq.:

A única forma da eq. acima ser válida é para os dois termos dos dois lados da eq. anterior serem iguais a uma constante. Podemos usar a seguinte constante para igualar os termos dos dois lados da eq.

Assim,

Assim, para o termo do lado direito:

Resolvendo, vamos ter que:

Para o outro termo, do lado esquerdo:

Multiplicando em ambos os lados da eq. acima por X/r2:

Assim,

Veja que conseguimos chegar nas expressões mostradas no enunciado, logo, a consideração de que a função de onda pode ser escrita como um produto de X e Y é válida, com base no que foi feito.

Vamos relembrar que para uma equação diferencial ser separável, a eq. diferencial precisa ser escrita em termos duas funções na qual pode ser escrita como o produto destas duas funções, portanto, a eq. de Schrödinger é separável.

B)

A eq. para a parte radial com l = 0, será:

Rearranjando

Para provarmos que a solução proposta para X é realmente uma solução para a eq. radial, vamos derivar a função dada. Sendo,

Derivando:

Agora a segunda derivada:

Substituindo as derivadas na eq. radial

Resolvendo

Sendo,

Assim,

Assim,

Logo, X é de fato uma solução para a eq. de Schrödinger na parte radial.

C)

Como já foi feito e mostrado no item anterior:

Sendo ħ a cte de Planck, h, dividido por 2π, assim:

Logo,

Portanto,