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Enunciado

Química - Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o Meio Ambiente - 5ª Edição - Peter Atkins, Loretta Jones e Leroy Laverman- Ed: 5º - Capítulo 1.1 - Ex. 37

O comprimento de onda de uma partícula em uma caixa unidimensional é dada na Eq. 9. (a) Confirme se a probabilidade de encontrar a partícula na metade esquerda da caixa é ½ , independentemente do valor de n . (b) Será que a probabilidade de encontrar a partícula no primeiro terço à esquerda da caixa depende de n ? Se for o caso, qual é a probabilidade? Sugestão: a integral indefinida de sen 2 ⁡ a x é 1 2 x - 1 4 a sen ⁡ 2 a x + c o n t a n t e .

Passo 1

a) Primeiro, escrevemos a função de onda para uma partícula em uma caixa.

ψ n x = 2 L × sen ⁡ n π x L

Onde  L  é o comprimento da caixa e n = 1,2 , …

A probabilidade de encontrar a partícula na metade esquerda da caixa é:

∫ 0 L 2 ψ n 2 x d x

∫ 0 L 2 ψ n 2 x d x = 2 L ∫ 0 L 2 sen 2 ⁡ n π x L d x

                                                    = 2 L ⁡ x 2 - L 4 n π sen ⁡ 2 n π x L 0 L 2

                                                                                    = 2 L L 4 - L 4 n π sen ⁡ n π - 0 - sen ⁡ 0

                                                                                                = 2 L × L 4         p o i s   sen ⁡ n π = sen ⁡ 0 = 0

= 1 2                              

A probabilidade de encontrar a partícula na metade esquerda da caixa é   1 2 . É uma constante e não contém o termo  n  . Portanto, a probabilidade de encontrar a partícula na metade esquerda da caixa é independente do valor de  n  .

Passo 2

b) Primeiro, escrevemos a função de onda para uma partícula em uma caixa.

ψ n x = 2 L × sen ⁡ n π x L

Onde  L  é o comprimento da caixa e n = 1,2 , …

A probabilidade de encontrar a partícula no primeiro terço a esquerdo da caixa é:

∫ 0 L 3 ψ n 2 x d x

∫ 0 L 3 ψ n 2 x d x = 2 L ∫ 0 L 3 sen 2 ⁡ n π x L d x

                                                    = 2 L ⁡ x 2 - L 4 n π sen ⁡ 2 n π x L 0 L 3

                                                                                        = 2 L L 6 - L 4 n π sen ⁡ 2 n π L - 0 - sen ⁡ 0

                                                                                                    = 1 3 - 1 2 n π sen ⁡ 2 n π 3         p o i s   sen ⁡ 0 = 0

Portanto, a probabilidade de encontrar a partícula no primeiro terço a esquerdo da caixa é

1 3 - 1 2 n π sen ⁡ 2 n π 3

A expressão final contém o termo  n  . Portanto, a probabilidade de encontrar a partícula no primeiro terço a esquerdo da caixa depende de  n .

Resposta

a)   1 2

b)   1 3 - 1 2 n π sen ⁡ 2 n π 3

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