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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas Numéricos - Ex. 5

A função de onda do átomo de hidrogênio no estado fundamental é:

ψ = 1 π a 0 3 - 1 / 2 e - r / a 0

Onde a 0 = 53   p m (o raio de Bohr). (a) Calcule a probabilidade de o elétron estar no interior de uma pequena esfera, com raio de 1 p m e centro no núcleo. (b) Imagine agora que a esfera mencionada esteja com o centro num ponto r = a 0 . Qual a probabilidade de o elétron estar no seu interior?

Passo 1

Fala meu jovem, tudo na paz?

Nós sabemos, pelo querido Atkins, que a função de onda é obtida através da equação de Schrodinger (sim, o cara do Gato).

A função de onda é dada por:

ψ = 1 π a 0 3 - 1 / 2 e - r / a 0

Elevando ao quadrado e relacionando o volume da esfera teremos a probabilidade:

ψ 2 = 1 π a 0 3 e - 2 r / a 0

δ r = 4 3 π r 0 3

Quando r 0 = a 0 = 1 p m de uma pequena esfera.

Então teremos que por se tratar de uma esfera pequena, o volume é tão pequeno que não varia, então a probabilidade de obter o valor será dada por:

ψ 2 δ r = 4 r 0 3 3 a 0 3 e - 2 r / a 0 = 4 3 1 53 2 e - 2 r / a o

Agora, com essas manipulações conseguimos conseguimos calcular para diferentes valores de r!

Passo 2

Para r = 0 de uma partícula minúscula, teremos:

ψ 2 δ r = 4 3 1 53 2 = 9.10 - 6

E agora, quando r = a 0 :

ψ 2 δ r = 1 53 2 e - 2 a o / a o = 4 3 1 53 2 e - 2 = 1,2.10 - 6

Ufa, terminamos!!

Resposta

r = 0   t e m o s   ψ 2 δ r = 9.10 - 6

r = a 0   t e m o s   ψ 2 δ r = 1,2.10 - 6

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