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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas Teóricos - Ex. 15

Determine quais, entre as seguintes funções, são autofunções do operador d / d x : (a) e i k x ; (b) cos ⁡ k x ; (c) k ; (d) k x (e) e - a x 2 .

Nos casos apropriado, determine o correspondente autovalor.

Passo 1

Aooobaa meus jovem!! Turubaauum?? Da uma chacoalhada nessa carcaça aí e bora resolver mais uma!!

Aqui não temos muito segredos... tudo o que queremos saber é se cada uma dessas funções pode ser uma autofunção do operador de derivadas...

Mas o que significa isso?? Bom, basicamente teremos que aplicar o operador (ou seja, derivar a função), e verificar se a função obtida é um múltiplo da função original.... em outras palavras:

f f ' = C

A função f será uma autofunção do operador, e o múltiplo C será o autovalor desse mesmo operador.

Confuso?? Vamo tentar pra ver se você capita a ideia!!

Passo 2

Na letra (a) f = e i k x

Então, derivando essa criatura:

f ' = d e i k x d x = i k   e i k x

Repare então, que:

f f ' = e i k x i k   e i k x = 1 i k

Legal, se i k forem constantes, então sim! A função f é uma auto função do operador derivada e o autovalor será 1 / i k .

Agora ficou mais palatável?? Seguimos então:

(b) f = cos ⁡ k x

Teremos o seguinte:

d cos ⁡ k x d x = - k sin ⁡ k x

Então, naturalmente a função c o s ⁡ ( k x ) não será uma autofunção do operador:

cos ⁡ k x - k sin ⁡ k x ≠ C

Seguindo!!

(c) f = k

Essa aqui é até sacanagem né??

A única coisa que o universitário de exatas sabe com todas as forças é que a derivada de uma constante é zero.... mas o que talvez ele não saiba é que sim! O zero será um autovalor e f = k é sim uma autofunção do operador...

É colega!! A vida tem dessas!! Bem-vindo àSEITA....(aquela que dói menos....)

Passo 3

Podemos seguir?? Tá comigo??

(d) f = k x ;

Aqui fica moleza também...

d k x d x = k

Portanto,

f f ' = k x k = x

Quase caímos no conto de que k era um autovalor.... mas não... a função k x não é uma autofunção.... que coisa de doido! Mas enfim... é isso

E por fim...

(e) f = e - a x 2

Teremos:

d e - a x 2 d x = - 2 a x   e - a x 2

E aqui?? Nãooo teremos uma autofunção:

f f ' = e - a x 2 - 2 a x   e - a x 2 = - 1 2 a x

Mas isso daí não é uma constante.... portanto não retornamos ao valor inicial e portanto isso não é uma autofunção!!

Topzera né?! E isso é tudo!!

Até a próxima!!!

Resposta

Teremos:

  1. É autofunção; a u t o v a l o r = i k ;
  2. Não é autofunção;
  3. É autofunção; A u t o v a l o r = 0 ;
  4. Não é autofunção;
  5. Não é autofunção;
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