(a) Use o modelo da partícula em uma caixa para o átomo de hidrogênio para tratar o elétron em uma caixa unidimensional de comprimento 150 pm e prediga o comprimento de onda da radiação emitida quando o elétron passa do nível n = 3 ao nível n = 2 . (b) Repita o cálculo para a transição entre os níveis n = 4 e n = 2 .

Dado: equação da “energia da partícula em uma caixa”:

E n + 1 - E n = ( 2 n + 1 ) ∙ h 2 8 ∙ m e ∙ L 2

Onde: h = 6,626 × 10 - 34   J ∙ s ; m e = 9,109 × 10 - 31   k g ; c = 2,998 × 10 8   m / s ;

L = comprimento da caixa (metros)

Passo 1

(a)Nesse caso, como queremos a transição entre os níveis 3 e 2, vamos considerar para n o valor do nível mais baixo, que é n = 2 , pra que, na equação, isso nos corresponda às energias E 3 - E 2 .

Um detalhe importante é que a diferença de energia vai equivalr à expressão h ν , em que ν = c / λ . A partir dessa relação, podemos determinar o comprimento de onda da transição.

Assim, basta a gente substituir os valores pra n e pras constantes, já dadas no enunciado, na equação, e determinaremos:

E 3 - E 2 = ( 2 ∙ 2 + 1 ) ∙ ( 6,626 × 10 - 34 ) 2 8 ∙ 9,109 × 10 - 31 ∙ ( 150 × 10 - 12   m ) 2

Passo 2

E 3 - E 2 = ∆ E = h ∙ c λ = 5 ∙ 2,678 × 10 - 18   J

Isolamos λ , nossa incógnita, e teremos:

λ = 6,626 × 10 - 34 ∙ 2,998 × 10 8 1,339 × 10 - 17

∴ λ ≅ 1,48 × 10 - 8   m

Passo 3

(b)Não temos como calcular diretamente um E 4 - E 2 por essa equação, mas podemos calcular E 4 - E 3 e somar ao valor de E 3 - E 2 que já temos calculado. Assim, pra E 4 - E 3 , n = 3 , o menor valor. Calculamos:

E 4 - E 3 = ( 2 ∙ 3 + 1 ) ∙ ( 6,626 × 10 - 34 ) 2 8 ∙ 9,109 × 10 - 31 ∙ ( 150 × 10 - 12   m ) 2

Fazendo em uma calculadora, teremos:

E 4 - E 3 = 1,874 × 10 - 17   J

A energia de transição E 4 - E 2 equivalerá a ( E 4 - E 3 ) + ( E 3 - E 2 ) = ( 1,874 × 10 - 17 + 5 ∙ 2,678 × 10 - 18 )   J

E 4 - E 2 = 3,213 × 10 - 17 J

Mas queremos o comprimento de onda correlacionado a essa enegia. Usamos E 4 - E 2 = h ∙ c λ . Isolamos λ e calculamos:

λ = h ∙ c E 4 - E 2

λ = 6,626 × 10 - 34 ∙ 2,998 × 10 8 3,213 × 10 - 17

∴ λ ≅ 6,18 × 10 - 9   m

Resposta

(a) ∴ λ ≅ 1,48 × 10 - 8   m

(b) ∴ λ ≅ 6,18 × 10 - 9   m

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