Considere um sistema de primeira ordem cuja relação entrada-saída é dada por:
Com relação ao desempenho desse sistema, é correto afirmar que
a) Se a entrada é em degrau, a resposta alcança mais de 98% do seu valor final quando .
b) Quanto menor for o valor de , mais rapidamente a resposta ao impulso unitário do sistema decai para zero.
c) Quanto maior o valor de , menor o erro estacionário ao seguir uma entrada em rampa.
d) Quando , a resposta alcança o valor 63,2% da sua variação total, caso a entrada seja em degrau.
Passo 1
Antes de analisarmos item a item, vamos pegar nussa função de transferência e coloca-la no nosso modelo padrão, para isso, vamos dividir numerador e denominador por .
Sendo assim:
Passo 2
Vamos analisar item a item então.
No item (a), o enunciado diz que para uma entrada dedegrau, a resposta alcança do valor final em , ou seja, .
Nós sabemos que para a entrada degrau, a nossa função no tempo ficará da seguinte forma:
Vamos substituir então , e ver o que encontramos:
Portanto, a afirmação é incorreta.
Passo 3
Na alternativa (b) o enunciado afirma que quanto menor for mais rapidamente a resposta cai para para a entrada impulso unitário.
A entrada impulso unitário tem função de transferência igual a , ou seja, . Sendo assim:
Fazendo a inversa:
Sendo assim, quanto maior for o valor de , mais rapidamente a resposta se aproximará de , e portanto, a afirmação é incorreta.
Passo 4
O item (c) afirma que quanto maior o valor de , menor será o erro no estado estado estacionário para a entrada rampa.
Para a entrada rampa, nós vimos na nossa teoria que:
Onde é o ganho e é a inclinação da rampa.
Podemos perceber que no estado estacionário (tempo infinito), o primeiro termo da expressão tenderá a , e a resposta , será diretamente proporcional ao ganho .
Como , quanto maior for o valor de , menor será o ganho da função de transferência, e consequentemente, menor será o erro no estado estacionário.
Portanto essa alternativa é verdadeira.
Passo 5
A última alternativa diz que para a entrada rampa, a resposta atinge do valor final quando .
Pela expressão para a entrada degrau que vimos no passo 2, podemor perceber que a resposta atinge esse valor quando :
Como, no nosso exemplo, , essa afirmativa também está incorreta.
Resposta
c) Quanto maior o valor de , menor o erro estacionário ao seguir uma entrada em rampa.