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Enunciado

Termodinâmica - Van Wylen- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 46

Considere o processo de enchimento do balão de hélio no Prob.3.79. Considere o espaço interno ao balão como volume de controle e determine o trabalho realizado durante o processo de enchimento do balão.

Passo 1

Fala pessoal beleza?

Seguinte no P r o b .   3.79 temos um processo em que começa em:

D 1 = 1 m

P 1 = P 0 = 100   k P a

Para:

D 2 = 4   m

P 2 = 400   k P a

Olhando para o exercício 3.79 eles nós da uma relação de pressão e diâmetro que a seguinte:

P = P 0 + C 1 - D 1 D D 1 D

Com essas informações do exercício 3.79 e também sabemos que o nosso trabalho está entre D 1 e D 2 , temos que o nosso trabalho fica com essa fórmula:

W = ∫ 1 2 P   d V

Só que antes de calcular o trabalho temos que determinar os volumes.

Passo 2

Bem pessoal para os volumes vai se tranquilo, aplicar a fórmula do volume para o balão:

V 1 = π 6 D 1 3

V 1 = 0,5236   m 3

Para D 2 :

V 2 = π 6 D 2 3

V 2 = 33.51   m 3

Passo 3

Com o cálculo do volume falta apenas mais um cálculo para partirmos para o desenvolvimento do trabalho. Temos que determinara constante C que está na nossa equação da pressão.

P = P 0 + C 1 - D 1 D D 1 D

A aplicando para estado 1 e estado 2:

400 = 100 + C 1 + 1 4 1 4

C = 400 - 100 1 + 1 4 1 4

C = 1600   k P a  

Constante C calculada partiu para o trabalho.

Passo 4

Temos que o trabalho é:

W = ∫ 1 2 P   d V

Substituindo P :

W = P 0 V 2 - V 1 + ∫ D 1 D 2 C 1 - D 1 D D 1 D   d V

P 0   Sai da integral.

Vamos generalizar uma variável, tomaremos:

D 1 D = D '

Substituindo na integral:

W = P 0 V 2 - V 1 + ∫ D 1 D 2 C 1 - D ' D '   d V

W = P 0 V 2 - V 1 + ∫ D 1 D 2 C D ' - C D ' 2   d V

Agora temo que deixar a nossa variação do volume na mesma unidade de medida que o intervalo de integração, portanto, vamos derivar o volume:

d V = π 6 D 3

d V = π 6 D 3 d D

d V = π 2 D 2 d D

Passo 5

Vamos deixar a derivada do volume em função de D ' :

Isolando D :

D 1 D = D '

D = D 1 D '

Substituindo no volume:

d V = π 2 D 1 D ' 2 d D

Agora para derivada, vamos derivar o nosso D em função de D ' :

d D d D ' = D 1 D '

d D = - D 1 D 2 ' d D '

Substituindo no volume:

d V = π 2 D 1 D ' 2 - D 1 D 2 ' d D '

d V = - π 2 D 1 3 D 4 ' d D '

Passo 6

Retomando o cálculo da integral:

W = P 0 V 2 - V 1 + ∫ D 1 D 2 C D ' - C D ' 2   d V

Substituindo o volume:

W = P 0 V 2 - V 1 + ∫ D 1 D 2 C D ' - C D ' 2 ∙   - π 2 D 1 3 D 4 ' d D '

W = P 0 V 2 - V 1 + ∫ D 1 D 2 π 2 C - D 1 3 D 3 ' + D 1 3 D 2 ' d D '

Integrando, temos:

W = P 0 V 2 - V 1 + π 2 C D 1 3 2 D 2 ' - D 1 3 D ' 1 4

Substituindo os limites de integração e os valores, temos:

W = 100 ∙ 33.51 - 0,5236 + π 2 1600 1 2 ∙ 4 2 - 1 4 - 1 2 ∙ 1 2 - 1 1

W = 100 ∙ 33.51 - 0,5236 + π 2 1600 1 2 ∙ 4 2 - 1 4 - 1 2 ∙ 1 2 - 1 1

W = 4005,5   k J

Resposta

W = 4005,5   k J

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