Determine a inversa da transformada de Laplace das seguintes funções de .
Passo 1
Vamos resolver uma transformada inversa por passo. Para encontrar o que queremos, precisamos decompor as transformadas em transformadas simples que conhecemos.
Para o primeiro, queremos:
Como:
Conhecemos a transformada inversa ambas:
Mas não é válido supor que a inversa que estamos buscando é o produto dessas. Então precisamos decompor
Nas transformadas que conhecemos. Para isso, vamos usar frações parciais. Temos que:
Então, se acharmos e , conseguimos achar a inversa a partir das transformadas que conhecemos. Para achar, juntamos tudo novamente e comparamos coeficientes:
Juntando termos de mesmo grau:Agora, comparamos os coeficientes:
E temos o sistema:
Resolvendo, encontramos:
Assim:
E, a transformada inversa será:
Passo 2
Usando a mesma lógica do passo anterior, conhecemos:
Então separamos:
Em transformadas inversas conhecidas. Usando frações parciais:
Já que, de forma geral:
Então, para achar os valores das constantes, juntamos tudo:
Juntamos termos de mesmo grau:
Comparando, temos o sistema:
Resolvendo, obtemos:
Logo, teremos:
Logo, temos que:
Usando as transformadas inversas do início do passo e sabendo que:
Uma vez que:
Temos então:
Passo 3
Para esse passo, vamos usar informações que pegamos dos passos anteriores. Repare que:
E vimos que:
Logo:
Além disso, anteriormente vimos que:
Logo, temos:
Opa! Poupamos certo trabalho, não é mesmo? Bem, de cara temos:
As três últimas inversas são conhecidas. Quanto a primeira, temos que:
Então, para :
Logo:
Que está quase no que a gente quer. Como a transformada inversa também é linear:
Assim:
Opa! Agora é substituir:
Passo 4
Para essa aqui não tem muito jeito, vamos ter que usar frações parciais novamente:
Queremos decompor:
Para achar as constantes, juntamos tudo novamente:
Juntamos agora termos de mesmo grau para comparar:
Devemos tratar aqui como um valor conhecido, ou seja, deixa tudo em função de mesmo. Legal, vamos compara os coeficientes então:
Assim, temos o sistema:
Resolvendo, obtemos:
Portanto, temos que:
Então:
Já vimos antes que:
Além disso, temos:
como sendo a transformada anterior deslocada unidades, o que anuncia uma exponencial aí. De fato, temos:
Logo:
Finalmente, temos que:
Assim, temos:
Então:
Passo 5
Temos aí que:
Temos aí que:
E esta exponencial dentro da transformada, soa como um degrau. Em geral, temos que:
Então:
Que é exatamente nossa transformada. Logo:
Dá para simplificar mais isso aí, como:
Temos:
Então:
Passo 6
Aqui a lógica é muito parecida com o passo anterior. Temos que:
Como, de forma geral:
Então temos que:
Além disso, essa exponencial soa como um degrau, em que:
Assim temos:
Podemos também simplificar. Como:
Temos:
Portanto: