(c) Determine a transformada de Laplace inversa da seguinte função:
Passo 1
Não se preocupe com esse aí ao invés de . Nada muda na prática! E, além disso, não se convenciona usar t em vez de s (geralmente você sempre vai usar o s mesmo), então na sua prova não sai escrevendo t em vez de s não, viu?
Para não confundir vamos determinar a inversa em :
Assim, vamos ter:
Passo 2
Olhando assim de cara não dá para dizer qual é a inversa, então vamos separar isso aí usando frações parciais.
O grau no numerador vai ser no máximo um grau a menos que no denominador. Para determinar as constantes, vamos juntar tudo de novo:
Agora, distribuímos o que está no numerador:
Temos, para cada parcela:
Assim, vamos ficar com:
E juntamos os termos de mesmo grau:
Agora podemos comparar os polinômios:
Os polinômios no numerador só serão iguais, como desejamos, se os coeficientes forem iguais. Assim, montamos o sisteminha:
Vamos resolver isto. Pela terceira equação, temos:
Substituindo na primeira:
Substituindo na segunda, temos:
Epa, agora substituindo na última:
Agora, vamos substituindo o que encontramos nas equações anteriores:
Legal, então vamos ter:
Passo 3
Com isso podemos reescrever a transformada inversa da seguinte forma:
Usando a linearidade do operador, obtemos:
Vamos analisar cada inversa separadamente. Começamos com:
“Esquecemos” a exponencial por enquanto e calculamos a inversa da função que a multiplica. Por tabela, temos que:
Assim, teremos:
Agora, por tabela também, temos que:
Ou seja:
Da mesma forma, vamos achar:
Faltou então:
Para encontrar essa aí, vamos completar quadrado:
Assim, temos:
Por tabela, temos que:
Assim:
E por conta da exponencial, teremos:
Também temos que:
Assim:
Passo 4
Agora substituímos tudo que encontramos:
E essa é nossa resposta final. 😊