Obtenha a resposta ao degrau unitário para o sistema descrito pela equação de diferenças de segunda ordem:
Considere as condições iniciais iguais a .
Passo 1
O exercício pede para encontrarmos a resposta do degrau unitário para um sistema descrito por uma equação de diferenças de segunda ordem. A solução da equação de diferenças representa a resposta ao degrau unitário, logo, temos que achar uma expressão para .
Faremos isso usando a transformada Z, por isso, primeiramente, aplicaremos a função do MATLAB na equação de diferenças para encontrarmos a transformada de , que indicarems por .
Temos que é em função de e, como o enunciado não especificou nada, consideraremos que a variável independente das transformadas Z é , que é o padrão do MATLAB. Logo, a transformada Z de será .
Após encontrarmos , vamos aplicar para encontrar a inversa da transformada, isto é, , que é a solução da equação de diferenças e a resposta ao degrau unitário.
Passo 2
Vamos começar entrando com a equação de diferenças no MATLAB. Em um script novo, digite as linhas de código:
Na primeira linha, definimos as variáveis simbólicas e (indicamos que é em função de ).
Na segunda linha, assumimos que , para que o degrau unitário , definido logo abaixo, seja igual a .
Na terceira linha, usamos a função para criar o degrau unitário, que é armazenado em . A função tem a estrutura:
Ela cria um degrau unitário e o armazena em : quando , . Se , . Finalmente, para , . Como dissemos que , temos .
Na quarta linha, entramos com a equação de diferenças na variável , mas dando uma reformuladinha nela, jogando todos os termos para a esquerda e dizendo que ela é igual a .
Passo 3
Com a equação de diferenças no MATLAB, podemos usar a função para calcular a transformada Z dela. Lembrando que tem como estrutura:
Ela retorna a transformada Z da função , armazenando-a na variável . Quando não tem mais nenhuma entrada em além de , o MATLAB assume que a variável independente de é e fará que a transformada Z seja em função de .
Acrescente em seu programa o comando abaixo para calcular a transformada Z de :
O resultado é armazenado em . Para ver como ficou , rode o programa que fizemos até agora:
Ficou uma expressão bem comprida, mas dá pra perceber que tem um termo aí que aparece umas três vezes. tem exatamente a mesma estrutura da função e representa a transformada Z de , podendo ser substituído por . No caso, chamaremos só de .
Adicione os comandos abaixo em seu programa para fazer a substituição:
Primeiramente, criamos mais duas variáveis simbolicas: e . Em seguida, usamos a função para pedir ao MATLAB que substitua em a expressão por . O resultado da substituição é armazenado em , ficando no lugar daquela expressão comprida que vimos.
Após a substituição, fica assim:
E tem mais coisa pra substituir aí. O enunciado disse para considerarmos as condições iniciais nulas, isto é, . Para fazer as substituições, adicione ao seu programa a linha de código:
Com este comando, substituímos por e por em e armazenamos a nova expressão em , no lugar daquele mostrado no print acima. Executando o programa, podemos ver como está agora:
Passo 4
Para encontrar , precisamos encontrar para daí aplicar nela , para termos a inversa da tranformada Z. Em , a variável representa e podemos usar a função do MATLAB para encontrá-la. Adicione em seu código:
Com este comando, a função resolve a equação para a variável e armazena a solução em , atualizando seu valor. Na prática, isolamos na equação com este comando e passa a representar a expressão algébrica de . Rodando o programa, temos que é igual a:
Quer dizer que:
Para encontrarmos , devemos aplicar a inversa da transformada Z em , isto é, usar a função do MATLAB em . A função tem a estrutura:
Ela retorna a inversa da transformada Z de , armazenando-a na variável . Quando não tem mais nenhuma entrada em além de , o MATLAB assume que a variável independente de é e fará que a inversa da transformada Z seja em função de .
Para encontrar , entre o comando:
Com este comando, o MATLAB calcula a inversa da transformada Z de e armazena o resultado em , atualizando seu valor. é a solução da equação de diferenças e, rodando o programa, é igual a:
Resposta
A resposta ao degrau unitário é: