Exercícios Resolvidos de Transformada Z

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Enunciado

Usando o MATLAB, calcule a inversa da transformada Z de

F z = z ( z - a ) ( 1 - a z )

Passo 1

O exercício pede para encontrarmos a inversa da transformada Z F ( z ) = z / [ ( z - a ) ( 1 - a z ) ] usando o MATLAB. Logo, usaremos a função i z t r a n s ( ) neste exercício.

Como o enunciado não especificou nada, consideraremos que a variável independente de F ( z ) é z e que a sua inversa será em função de n , que é o padrão adotado pelo MATLAB. Em outras palavras, a inversa da transformada Z F ( z ) será representada por   f ( n ) .

Passo 2

Antes de partirmos para o MATLAB, vamos relembrar como é a função i z t r a n s . A função i z t r a n s do MATLAB tem a estrutura:

f = i z t r a n s ( F )

Ela retorna a inversa da transformada Z de F , armazenando-a na variável f . Como não tem mais nenhuma entrada em i z t r a n s além de F , o MATLAB assumirá que a variável independente de F é z e fará que a inversa da transformada Z f seja em função de n .

Em um novo script do MATLAB, entre com a função F ( z ) dada no enunciado:

Na primeira linha, criamos duas variáveis simbólicas: a e z .

Na segunda linha, dizemos ao MATLAB para assumir que a é diferente de 0 (isso simplifica a resposta no final).

Na terceira linha, entramos com a função F ( z ) dada pelo enunciado, armazenando-a na variável F .

Passo 3

Após ter entrado com F ( z ) , vamos usar i z t r a n s para encontrar a inversa da transformada Z de F :

A inversa da transformada Z de F é armazenada na variável f .

Rode o programa para ver qual é a cara de f :

Nossa, que coisa feia! Adicione em seu programa o comando s i m p l i f y , para dar uma enxugada nesse f :

Com esta linha de código, o MATLAB vai simplicar f e armazenar a resposta em f , substituindo a expressão anterior.

Ao executar o programa novamente, temos:

Resposta

A inversa da transformada Z de F ( z ) = z / [ ( z - a ) ( 1 - a z ) ] é

f n = 1 a n - a n a 2 - 1