Exercícios Resolvidos de Transformada Z

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Enunciado

Usando o MATLAB, calcule a transformada Z de um degrau unitário u ( n ) .

Passo 1

O exercício pede para encontrarmos a transformada Z, usando o MATLAB, de uma função muito utilizada na área de controle: a função degrau unitário no tempo discreto.

Para criarmos a função degrau unitário no MATLAB, usaremos a função h e a v i s i d e ( ) . Se essa for a primeira vez que você vê essa função, não se preocupe, vamos ver direitinho como ela funciona. Ao final, usaremos a função z t r a n s ( ) para encontrar a transformada de u ( n ) .

Como o enunciado não especificou nada, consideraremos que a variável independente de u ( n ) é n e que a transformada Z dela será em função de z , que é o padrão adotado pelo MATLAB. Em outras palavras, a transformada Z de u ( n ) será representada por U ( z ) .

Passo 2

Para criarmos o degrau unitário u ( n ) no MATLAB, usaremos a função h e a v i s i d e , que tem a estrutura:

u = h e a v i s i d e ( n )

Ela cria um degrau unitário e o armazena em u : quando n   <   0 , u = 0 . Se n = 0 , u = 1 / 2 . Finalmente, para n >   0 , u = 1 .

Em um script novo, digite as três linhas de código:

Na primeira linha, criamos a variável simbólica n .

Na segunda linha, assumimos que n   >   0 , para que o degrau unitário u , definido logo abaixo, seja igual a 1 .

Na terceira linha, usamos a função h e a v i s i d e para criar o degrau unitário, que é armazenado em u . Como assumimos que n > 0 , se você rodar o programa e pedir pra ver u , você verá que:

Passo 3

Após criar o degrau unitário, podemos achar sua transformada Z usando o comando z t r a n s , que tem a estrutura:

F = z t r a n s ( f )

Ele retorna a transformada Z da função f , armazenando-a na variável F . Como não tem mais nenhuma entrada em z t r a n s além de f , o MATLAB assumirá que a variável independente de f é n e fará que a transformada Z F seja em função de z .

Adicione ao seu script o comando:

Ele vai calcular a transformada Z de u e vai armazenar o resultado em U .

Vamos ver a carinha de U ? Rode o programa e você terá:

Resposta

A transformada Z de u ( n ) é:

U z = z z - 1