Supondo que um casal de coelhos precisa de um ano para amadurecer e gerar filhotes e que eles geram um casal de filhotes a cada ano, a população de coelhos no ano é descrita pela equação das diferenças:

Encontre para determinar qual será a população de coelhos em anos. Considere e .

Vamos começar entrando com a equação de diferenças no MATLAB. Em um script novo, digite as linhas de código:

Na primeira linha, definimos a variável simbólica (indicamos que é em função de ).

Na segunda linha, dizemos ao MATLAB para assumir (função ) que a variável simbólica é maior ou igual a zero e que ela é um número inteiro (pois falaremos apenas em “um ano”, “dois anos”, etc, e não consideraremos “um ano e meio”, por exemplo), usando o comando .

Na terceira linha, entramos com a equação de diferenças na variável , mas dando uma reformuladinha nela, jogando todos os termos para a esquerda e dizendo que ela é igual a .

Com a equação de diferenças no MATLAB, podemos usar a função para calcular a transformada Z dela. Lembrando que tem como estrutura:

Ela retorna a transformada Z da função , armazenando-a na variável . Quando não tem mais nenhuma entrada em além de , o MATLAB assume que a variável independente de é e fará que a transformada Z seja em função de .

Acrescente em seu programa o comando abaixo para calcular a transformada Z de :

O resultado é armazenado em .

Vamos ver como ficou ? Rodando o programa que fizemos até agora, temos:

Percebe que tem um termo aí que aparece umas três vezes? tem exatamente a mesma estrutura da função e representa a transformada Z de , podendo ser substituído por . No caso, chamaremos só de .

Adicione os comandos abaixo em seu programa para fazer a substituição:

Primeiramente, devemos criar mais duas variáveis simbolicas: e . Em seguida, usamos a função para pedir ao MATLAB que substitua em a expressão por . O resultado da substituição é armazenado em , ficando no lugar daquela expressão comprida que vimos.

Após a substituição, fica assim:

Bem mais bonitinha, né? E tem mais coisa pra substituir aí. O enunciado disse para considerarmos e . Para fazer as substituições, adicione ao seu programa a linha de código:

Com este comando, substituímos por e por em e armazenamos a nova expressão em , no lugar daquele mostrado no print acima. Executando o programa, podemos ver como está agora:

Para encontrar , precisamos encontrar para daí aplicar nela , para termos a inversa da tranformada Z. Em , a variável representa e podemos usar a função do MATLAB para encontrá-la. Adicione em seu código:

Com este comando, a função resolve a equação para a variável e armazena a solução em , atualizando seu valor. Na prática, isolamos na equação com este comando e passa a representar a expressão algébrica de . Rodando o programa, temos que é igual a:

Quer dizer que:

Para encontrarmos , devemos aplicar a inversa da transformada Z em , isto é, usar a função do MATLAB em . A função tem a estrutura:

Ela retorna a inversa da transformada Z de , armazenando-a na variável . Quando não tem mais nenhuma entrada em além de , o MATLAB assume que a variável independente de é e fará que a inversa da transformada Z seja em função de .

Para encontrar , entre o comando:

Com este comando, o MATLAB calcula a inversa da transformada Z de e armazena o resultado em , atualizando seu valor. é a solução da equação de diferenças e representa a população de coelhos em função de anos.

Rodando o programa, temos que é igual a:

Que expressão comprida, né? Tive que deixar a fonte bem pequenininha pra caber na página.

Queremos encontrar a população de coelhos em anos. Para isto, substituiremos por em , usando o comando:

O resultado é armazenado na variável , representando .

Se rodarmos o programa, teremos uma expressão gigantesca que não nos dará diretamente a população de coelhos em anos:

Isso acontece pois é uma variável simbólica. Para encontrarmos a população, devemos resolver cada uma das operações matemáticas de , usando o comando :

Este comando aplica a função em e armazena o resultado em , substituindo a expressão anterior pelo resultado das operações matemáticas. Ao rodar programa, temos:

é um número complexo, mas note que a parte imaginária é bem pequenininha, na ordem de . Logo, podemos desprezar a parte imaginária e dizer que a população de coelhos daqui a anos é .