Encontre a altura média do paraboloide sobre o quadrado ,
Passo 1
Essa questão é um pouco diferente, né? Não vimos em nenhum exemplo anterior como calcular uma altura média. Vamos tentar entender melhor o que o enunciado está pedindo.
A partir do momento que ele fala da média de uma função contínua, nos faz imaginar que vamos precisar usar a fórmula do valor médio
Beleza, só precisamos então escrever a altura do paraboloide como uma função de e ! E como faremos isso?
De certa forma, a gente já se acostuma a ver o eixo como a altura de alguns objetos, isso porque ele está “meio que” pra cima em todas as questão, com isso, não é muito difícil imaginar a altura como a própria equação do paraboloide!
Agora ficou mais simples, certo? Temos a nossa função e o nosso domínio definido pelo enunciado, é só calcular a integral dupla e a área pra chegarmos na resposta! Vamos lá?
Passo 2
Como nosso domínio já está definido no enunciado, podemos ir direto para o cálculo da integral dupla. Nesse caso, tanto faz a ordem de integração que escolhermos, fazendo pelo tipo então:
Integrando-se em :
Integrando-se em :
Passo 3
Vamos agora analisar a área da nossa região . Note que o enunciado mesmo já nos diz que é um quadrado! Bem tranquilo, né? Nesse caso o nosso quadrado tem lado igual a , portanto:
Passo 4
Pronto, calculada a integral dupla e a área de , é só juntar tudo na fórmula do valor médio.