Teoria
O que são cônicas?
Lembra no colégio quando estudamos as equações de segundo grau? Por exemplo, essa equação aqui
é uma equação do segundo grau, concorda?! Vamos tentar entender aqui um pouco melhor o que elas significam e a utilidade delas, show de bola?!?!
Então vamos lá! Por acaso você já viu essas curvas que estão na figura a seguir??
A curva verde, talvez, seja a mais familiar, pois já vimos ela no colégio, é uma parábola (lembra das equações de segundo grau?). As outras já são um pouco diferentes!! A curva azul chamamos de elipse e as duas curvas em vermelho formam o que chamamos de uma hipérbole.
Essas figuras são chamadas de cônicas. São curvas definidas por certas equações predeterminadas e que são desenhadas no plano, ou seja, em 2D.
Bora começar pela parábola, que para alguns já é uma velha conhecida!!
O que é uma Parábola?
Ok, você deve se lembrar das aulas de matemática do ensino médio, que a parábola representa um gráfico das equações de segundo grau né? Pois é! Esse é o momento que peço pra você esquecer dessa definição e tentar enxergar a parábola com outros olhos, rs!
Vamos estudar a definição geométrica de parábola:
“Dado uma reta d e um ponto F, a parábola é o lugar geométrico dos pontos cuja a distância até F é igual a distância até a reta d.”
Relaxa que já já você vai entender!
Vamos lá, a definição fala de uma reta e um ponto né? Vamos começar daí:
Observe agora essa imagem:
Notou que escolhendo esse ponto a distância entre o ponto e a retaé igual a distância entre ele e o ponto ? Esse ponto vai pertencer a parábola!
Para encontrá-la agora precisamos descobrir todos os pontos com essa propriedade:
Prontinho já achamos a tão famosa parábola, o lugar geométrico dos pontos cuja a distância até F é igual a distância até a reta d. Fez mais sentido agora né?
Elementos da Parábola
Para construir e estudar a parábola, vamos precisar de alguns nomes. Observe a figura:
Temos que:
- Foco é o ponto
- Reta Diretriz, reta
- Eixo é a reta que contém o foco e é perpendicular a reta diretriz
- Vértice que é o ponto o qual é a interseção da parábola com o seu eixo, equidistante ao foco e à reta diretriz.
- , ou seja, o vértice é equidistante ao foco e à reta diretriz
- O Parâmetro de uma parábola é a distância entre o foco e a diretriz
Depois que traçou essa reta perpendicular a diretriz, nós obtemos mais umas relaçoes importantes:
Tipos de Parábolas
A parábola pode estar desenhada de 3 maneiras diferentes:
Caso 1 - Vértice da parábola é a origem e o seu eixo é o eixo dos
Caso 2 - Vértice da parábola é a origem e o seu eixo é o eixo dos
Caso 3 – Translação
Show de bola?! Não se assuste pequeno gafanhoto, pois vamos estudar cada um dos casos!
Caso 1
Trata-se de uma parábola com o vértice sendo a origem e o seu eixo é o eixo dos . Vamos pensar num exemplo:
Observe a expressão .
Atribuindo valores para e encontrando , temos a tabela:
Colocando esses pontos no plano e ligando eles, temos isso aqui
Obtemos o que queríamos , uma parábola com o vértice sendo a origem e o seu eixo é o eixo dos . Vamos generalizar agora:
Bem, seja um ponto com coordenadas um ponto qualquer da parábola de foco temos algo desse tipo:
Essa parábola ta do mesmo jeitão da que vimos no exemplo ali em cima né? Hehe
Da definição de parábola, temos que:
Então nesse caso temos que:
Sendo pertencente à reta diretriz, temos que enquanto. Substituindo e calculando a distância da expressão temos:
=
Resolvendo essa equação chegamos em:
Essa é a forma padrão da equação da parábola de vértice na origem e eixo no eixo .
Então lá no nosso exemplo, em que , temos , ou seja, ali temos que
Como é sempre um valor positivo, os valores de e têm duas possibilidades:
Com essas duas possibilidade surgem as parábolas que conhecemos lá no fundamental!! Assim, na figura a seguir estão as duas possibilidades para e bem como suas retas diretrizes!!
Esse foi nosso primeiro caso!! Vamos para o segundo caso!!
Caso 2
Vamos supor que ao invés de , tivéssemos . Fazendo o mesmo esquema que fizemos ali em cima, nossa parábola ficaria assim:
Eita! Como assim agora ela ta deitada?? Vamos analisar esse caso com essa figura genérica:
O passo a passo para determinar a equação da parábola é o mesmo do caso anterior, mas agora nosso foco é , nosso , fazendo o cálculo da distância, chegamos na expressão:
=
Essa é a equação da parábola quando o vértice é e o eixo é o eixo . Para esse caso novamente temos duas possibilidades para e , mostradas na figura:
No nosso exemplo, , então e a nossa diretriz é .
Caso 3
Agora vamos supor a equação . Opa, repara que nesse caso ela ta “flutuando”, não ta colada em nenhum eixo:
Para entendermos bem esse caso, vamos começar falando de translação!! Translação nada mais é que uma mudança de coordenadas, como mostra a figura a seguir:
Na figura temos o sistema que é nosso velho conhecido, mas também temos em linhas tracejadas o sistema que foi criado para facilitar nossa vida. Então, olhando para a figura vemos que:
Reescrevendo:
Então no nosso exemplo:
Para resolver, vamos supor que e que , então teremos:
Com essa mudança de coordenadas caímos novamente no caso 1 ou 2.
Nesse caso, já vimos no caso 1 que , , . Mas, agora tudo isso está no sistema , agora vamos passar novamente pra , lembrando que e :
Então basicamente a coisa aqui é mudar as coordenadas, achar os parâmetros em e depois mudar de coordenada de novo beleza??
Essas ideias ficarão ainda mais claras nos exercícios!! Então vamos lá!! :D