Teoria

O que são cônicas?

Lembra no colégio quando estudamos as equações de segundo grau? Por exemplo, essa equação aqui

x 2 = 8 y

é uma equação do segundo grau, concorda?! Vamos tentar entender aqui um pouco melhor o que elas significam e a utilidade delas, show de bola?!?!

Então vamos lá! Por acaso você já viu essas curvas que estão na figura a seguir??

A curva verde, talvez, seja a mais familiar, pois já vimos ela no colégio, é uma parábola (lembra das equações de segundo grau?). As outras já são um pouco diferentes!! A curva azul chamamos de elipse e as duas curvas em vermelho formam o que chamamos de uma hipérbole.

Essas figuras são chamadas de cônicas. São curvas definidas por certas equações predeterminadas e que são desenhadas no plano, ou seja, em 2D.

Bora começar pela parábola, que para alguns já é uma velha conhecida!!

O que é uma Parábola?

Ok, você deve se lembrar das aulas de matemática do ensino médio, que a parábola representa um gráfico das equações de segundo grau né? Pois é! Esse é o momento que peço pra você esquecer dessa definição e tentar enxergar a parábola com outros olhos, rs!

Vamos estudar a definição geométrica de parábola:

“Dado uma reta d e um ponto F, a parábola é o lugar geométrico dos pontos cuja a distância até F é igual a distância até a reta d.”

d F , P = d ( P , P ' )

Relaxa que já já você vai entender!

Vamos lá, a definição fala de uma reta d e um ponto F né? Vamos começar daí:

Observe agora essa imagem:

Notou que escolhendo esse ponto P a distância entre o ponto P   e a reta d é igual a distância entre ele e o ponto F ? Esse ponto vai pertencer a parábola!

Para encontrá-la agora precisamos descobrir todos os pontos com essa propriedade:

Prontinho já achamos a tão famosa parábola, o lugar geométrico dos pontos cuja a distância até F é igual a distância até a reta d. Fez mais sentido agora né?

Elementos da Parábola

Para construir e estudar a parábola, vamos precisar de alguns nomes. Observe a figura:

Temos que:

  • Foco é o ponto F
  • Reta Diretriz, reta d
  • Eixo é a reta que contém o foco e é perpendicular a reta diretriz
  • Vértice que é o ponto V o qual é a interseção da parábola com o seu eixo, equidistante ao foco e à reta diretriz.
  • Depois que traçou essa reta perpendicular a diretriz, nós obtemos mais umas relaçoes importantes:

    • d V , A = d ( V , F ) , ou seja, o vértice é equidistante ao foco e à reta diretriz
    • O Parâmetro ( p ) de uma parábola é a distância entre o foco e a diretriz

    Tipos de Parábolas

    A parábola pode estar desenhada de 3 maneiras diferentes:

    Caso 1 - Vértice da parábola é a origem e o seu eixo é o eixo dos y

    Caso 2 - Vértice da parábola é a origem e o seu eixo é o eixo dos x

    Caso 3 – Translação

    Show de bola?! Não se assuste pequeno gafanhoto, pois vamos estudar cada um dos casos!

    Caso 1

    Trata-se de uma parábola com o vértice sendo a origem e o seu eixo é o eixo dos y . Vamos pensar num exemplo:

    Observe a expressão x 2 = 8 y .

    Atribuindo valores para x e encontrando y , temos a tabela:

    Colocando esses pontos no plano e ligando eles, temos isso aqui

    Obtemos o que queríamos , uma parábola com o vértice sendo a origem e o seu eixo é o eixo dos y . Vamos generalizar agora:

    Bem, seja um ponto P com coordenadas ( x ,   y ) um ponto qualquer da parábola de foco F 0 , p 2 temos algo desse tipo:

    Essa parábola ta do mesmo jeitão da que vimos no exemplo ali em cima né? Hehe

    Da definição de parábola, temos que:

    d F , P = d P , P '

    Então nesse caso temos que:

    d F , P = d P , P ' → P F → = P P ' →

    Sendo P ' pertencente à reta diretriz, temos que P ' = x ,   - p 2 enquanto F = 0 , p 2 . Substituindo e calculando a distância da expressão temos:

    d F , P = d P , P '

    ( 0 - x ) 2 - ( p 2 - y ) ² = ( x - x ) 2 + ( y - ( - p 2 ) 2

    Resolvendo essa equação chegamos em:

    Essa é a forma padrão da equação da parábola de vértice na origem e eixo no eixo y .

    Então lá no nosso exemplo, em que x 2 = 8 y , temos x 2 = 2.4 y , ou seja, ali temos que p = 4

    Como x 2 é sempre um valor positivo, os valores de p e y têm duas possibilidades:

  • p > 0   e   y > 0
  • p < 0     e   y < 0

Com essas duas possibilidade surgem as parábolas que conhecemos lá no fundamental!! Assim, na figura a seguir estão as duas possibilidades para p e y bem como suas retas diretrizes!!

Esse foi nosso primeiro caso!! Vamos para o segundo caso!!

Caso 2

Vamos supor que ao invés de x 2 = 8 y , tivéssemos y 2 = 8 x . Fazendo o mesmo esquema que fizemos ali em cima, nossa parábola ficaria assim:

Eita! Como assim agora ela ta deitada?? Vamos analisar esse caso com essa figura genérica:

O passo a passo para determinar a equação da parábola é o mesmo do caso anterior, mas agora nosso foco é F p 2 , 0 , nosso P ' = ( - p 2 , y ) , fazendo o cálculo da distância, chegamos na expressão:

d F , P = d P , P '

( p 2 - x ) 2 - ( 0 - y ) ² = ( x - ( - p 2 ) ) 2 + ( y - y ) 2

Essa é a equação da parábola quando o vértice é V = ( 0 ,   0 ) e o eixo é o eixo x . Para esse caso novamente temos duas possibilidades para p e x , mostradas na figura:

No nosso exemplo, y 2 = 8 x → y 2 = 2.4 x , então p = 4 e a nossa diretriz é x = - 2 .

Caso 3

Agora vamos supor a equação ( x - 6 ) ² = 8 ( y - 4 ) . Opa, repara que nesse caso ela ta “flutuando”, não ta colada em nenhum eixo:

Para entendermos bem esse caso, vamos começar falando de translação!! Translação nada mais é que uma mudança de coordenadas, como mostra a figura a seguir:

Na figura temos o sistema x y que é nosso velho conhecido, mas também temos em linhas tracejadas o sistema x ' y ' que foi criado para facilitar nossa vida. Então, olhando para a figura vemos que:

x = x ' + h               e             y = y ' + k

Reescrevendo:

x ' = x - h           e           y ' = y - k

Então no nosso exemplo:

( x - 6 ) ² = 8 ( y - 4 )

Para resolver, vamos supor que y ' = y - 4 e que x ' = x - 6 , então teremos:

x ' 2 = 8 y '

Com essa mudança de coordenadas caímos novamente no caso 1 ou 2.

Nesse caso, já vimos no caso 1 que V ' = ( 0 ,   0 ) , F ' = ( 0 ,   2 ) , d ' : y ' = - 2 . Mas, agora tudo isso está no sistema x ' y ' , agora vamos passar novamente pra x y , lembrando que x = x ' + 6 e y = y ' + 4 :

V = 0 + 6 ,   0 + 4 = ( 6 ,   4 )

F = 0 + 6 ,   2 + 4 = ( 6 ,   6 )

d : y = - 2 + 4 → y = 2

Então basicamente a coisa aqui é mudar as coordenadas, achar os parâmetros em x ' y ' e depois mudar de coordenada de novo beleza??

Essas ideias ficarão ainda mais claras nos exercícios!! Então vamos lá!! :D

Elementos da Parábola

Tipos de Parábolas

Caso 1

Caso 2

Caso 3

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