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Soma da Dimensão de Subespaços

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Teoria

Soma Direta

Lembram daquele exemplo da soma de uma reta com um plano no R 3 ? Esse aqui oh:

Perceba que a interseção da reta W com o plano H acontece apenas na origem. Quando isso acontece temos uma nomenclatura especial:

Notação: H ⊕ W

No exemplo anterior, R 3 = H ⊕ W . Mas cuidado!! A definição acima fala quando uma SOMA é direta. Se por exemplo quisermos definir que um espaço E , no caso o R 3 , é soma direta de dois subespaços H ,   W escreveríamos:

Então, podemos dizer que a soma H + W é direta, e que o R 3 é soma direta de H e W .

Dimensão de Subespaços

Ainda referente ao exemplo acima, vimos que a dimensão de H + W era a dimensão de H mais a dimensão de W que no caso dava 3 . Sendo assim, a soma deles gerava o R 3 . Mas e se pegássemos dois planos no R 3 ?

Π 1 = x , y , z ∈ R 3 z - y = 0 }

Π 2 = x , y , z ∈ R 3 z - x = 0 }

Podemos ver que os geradores de Π 1 são:

x , y , y = x 1,0 , 0 + y ( 0,1 , 1 )

E que os de Π 2 são:

x , y , x = x 1,0 , 1 + y ( 0,1 , 0 )

Se pegarmos a soma Π 1 + Π 2 temos que seus geradores são:

s p a n 1,0 , 0 , 0,1 , 1 , 1,0 , 1 , 0,1 , 0

Com um olhar descuidado pode-se dizer que a dimensão da soma desses planos é 4 . Mas como somos muito safos sabemos que não é bem assim. Faltou verificarmos se todos os geradores são L I !

De fato não são, pois é impossível ter 4 vetores L I no R 3 . Logo, basta verificar qual é C L do outro. Ao verificar, vemos que a dimensão do conjunto é 3 .

Po, mas fazer isso toda vez é muito trabalhoso! É verdade, por isso vou te ensinar um outro jeito mais prático de calcular a dimensão de soma de subespaços!

Diferente do nosso primeiro exemplo lá em cima, desta vez os conjuntos em questão possuem uma reta como interseção! (Logo, a soma deles não é direta pois Π 1 ∩ Π 2 ≠ { 0 } !)

Vamos verificar a interseção deste:

z - y = 0 ⇒ z = y z - x = 0 ⇒ z = x

Disso tiramos que:

x = y = z

Logo a interseção dos dois é formada pelo vetor:

x , x , x = x ( 1,1 , 1 )

Assim sendo, podemos ver que a interseção é uma reta, gerada pelo vetor acima, e, portanto, sua dimensão é 1 . Isso já era esperado, pois a interseção de dois planos no R 3 (não-coincidentes) é sempre uma reta!

Agora saca o seguinte: sabemos que a dimensão de cada um dos planos é 2 e que a interseção deles gera uma reta de dimensão 1 . Então,

2 + 2 - 1 = 3

que é exatamente a dimensão da soma dos planos. Se fossem 2 planos iguais, a interseção seria ele próprio e teria dimensão 2 , logo:

2 + 2 - 2 = 2

E de fato a soma de dois planos iguais tem que ser o próprio plano, então deve ter dimensão 2 !

Voltando no exemplo lá de cima, vimos que a dimensão da soma era exatamente a soma das dimensões da reta e do plano. Como a interseção era apenas a origem, sua dimensão é nula.

Equacionando, temos:

1 + 2 - 0 = 3

Percebeu o padrão? Isto não é por acaso! Podemos achar a dimensão da soma facilmente, somando as dimensões de cada um dos conjuntos e diminuindo a dimensão da interseção deles!

Com isso chegamos ao teorema:

Dimensão de Subespaços

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Sabendo que

H = x , y , z , w ∈ R 4   t 1,0 , 1,0 + s 1,1 , 1,1 , ∀ t , s ∈ R }

S = x , y , z , w ∈ R 4   r 0,1 , 0,1 , ∀ r ∈ R }

Sem fazer muitas contas, qual d i m ⁡ ( H ∩ S ) ?

Passo 1

Bom, vamos usar aquela fórmula linda pra ajudar a gente:

dim ⁡ H + S = dim ⁡ H + dim ⁡ S - dim ⁡ H ∩ S

Vamos achar os geradores de H + S , que é muito mais fácil!

H + S = s p a n 1,0 , 1,0 , 1,1 , 1,1 , 0,1 , 0,1

Este conjunto novo formado por esses três vetores é L D , pois ( 1 , 1,1 , 1 ) é a soma dos outros dois.

Passo 2

Assim, basta eliminá-lo e o conjunto torna-se L I e, portanto, dim ⁡ H + S = 2 .

Sabendo que dim ⁡ H = 2 e dim ⁡ S = 1 , basta usar o teorema e aplicar a fórmula!

dim ⁡ H + S = dim ⁡ H + dim ⁡ S - dim ⁡ H ∩ S

2 = 2 + 1 - dim ⁡ H ∩ S

dim ⁡ H ∩ S = 1

Resposta

dim ⁡ H ∩ S = 1

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Sendo:

H = A ∈ M 2 × 2 a 11 = 2 a 22 }

S = B ∈ M 2 × 2 a 12 = 0 }

Calcule uma base para H ∩ S , d i m ⁡ ( H ∩ S ) e d i m ⁡ ( H + S ) .

Passo 1

Neste caso, é mais prático achar a interseção. Para definirmos quais serão seus elementos, e depois uma base, precisamos que estes elementos satisfaçam as duas condições de H e S ao mesmo tempo. Portanto, seria uma matriz 2 × 2 do tipo:

2 d 0 c d = c 0 0 1 0 + d 2 0 0 1

Assim, uma possível base α para H ∩ S é α = 0 0 1 0 , 2 0 0 1 e dim ⁡ H ∩ S = 2 .

Passo 2

Agora, vamos achar uma base para H e S e daí calcular suas dimensões.

Para H temos que

2 d b c d = b 0 1 0 0 +   c 0 0 1 0 + d 2 0 0 1

e dim ⁡ H = 3 .

Para S temos

a 0 c d = a 1 0 0 0 + c 0 0 1 0 + d 0 0 0 1

e dim ⁡ S = 3 .

Passo 3

Assim, usando a fórmula da dimensão da soma temos:

dim ⁡ H + S = dim ⁡ H + dim ⁡ S - dim ⁡ H ∩ S

dim ⁡ H + S = 3 + 3 - 2 = 4

Resposta

α = 0 0 1 0 , 2 0 0 1

dim ⁡ H ∩ S = 2

dim ⁡ H + S = 4

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Sendo

H = x , y , z ∈ R 3 x + y - z = 0 }

S = x , y , z ∈ R 3 t 1,1 , 0 , ∀ t ∈ R }

Verifique que H ⊕ S = R 3 .

Passo 1

O problema pede para verificar que a soma direta entre H e S gera o R 3 inteiro. Isso quer dizer que H ∩ S = { 0 } e H + S = R 3 .

Vamos verificar primeiro se a interseção deles é zero de fato.

Passo 2

Para ver se a interseção é realmente zero, podemos verificar se dim ⁡ H ∩ S = 0 , pois acontece se, e somente se, H ∩ S = { 0 } .

dim ⁡ H + S = dim ⁡ H + dim ⁡ S - d i m ⁡ ( H ∩ S )

Para isso, precisamos saber quais são os geradores de H e de H + S .

Passo 3

Para achar os geradores de H , basta entender a condição dada. Assim, podemos vê-la de outro modo:

z = x + y

Portanto, H é formado pelos vetores do R 3 que possui a última coordenada igual a x + y .

x , y , x + y = x 1,0 , 1 + y ( 0,1 , 1 )

Assim é facinho de ver que H = s p a n { 1,0 , 1 , 0,1 , 1 } e, olhando para os zeros nas coordenadas, vemos que eles são L I . Portanto, dim ⁡ H = 2 .

Passo 4

Para achar os geradores de H + S , basta juntar os geradores dos dois:

H + S = s p a n { 1,0 , 1 , 0,1 , 1 , 1,1 , 0 }

De novo, olhando para os zeros, vemos rapidamente que os vetores são L I e, portanto, dim ⁡ H + S = 3 .

Passo 5

O conjunto S possui apenas um gerador, que não é o vetor nulo, portanto dim ⁡ S = 1 .

Aplicando na fórmula da dimensão:

dim ⁡ H + S = dim ⁡ H + dim ⁡ S - dim ⁡ H ∩ S

3 = 2 + 1 - dim ⁡ H ∩ S

dim ⁡ H ∩ S = 0

Como a dimensão da interseção entre os dois conjuntos é zero, temos que a interseção também é nula. E como a soma é formada por 3 vetores L I , sabemos que o s p a n deles gera o R 3 . Logo, H ⊕ S = R 3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensões m e n , respectivamente. Considere o espaço vetorial U × V cuja adição é dada por u 1 , v 1 + u 2 , v 2 = u 1 + u 2 , v 1 + v 2 E a multiplicação por
Sendo W o sub-espaço do exercício 1 e U o sub-espaço do R 4 gerado por 1 ,2 ,1 ,3 e ( 3 ,1 ,- 1 ,4 ) , determinar uma base e a dimensão de U + W e de U ∩ W .
Suponha que { u 1 , … ,u n } é uma base de um espaço vetorial. Mostrar que { u 1 ,u 1 + u 2 , … ,u 1 + u 2 + … + u n } também é uma base desse espaço.
Determinar a dimensão dos seguintes subespaços de M n ( R ) :Subespaço da matrizes simétricas;Subespaço das matrizes antissimétricas.Subespaço das matrizes A tais que A = 2 A t .Subespaço das matrizes
No espaço vetorial R 3 consideremos os seguintes sub-espaços: U = x ,y ,z x = 0 , V = x ,y ,z y - 2 z = 0e W = 1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,2 . Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços: