Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 17
Sejam A e B matrizes nxn. Mostre que se B não é invertível, então AB também não o é.
Passo 1
Pelas propriedades matriciais, sabemos que o produto de duas matrizes invertíveis também é invertível.
Dado que B não é invertível, o produto AB não pode ser invertível. Vamos demonstrar matematicamente:
Supondo A e B invertíveis:
Que pode ser escrito como:
Passo 2
Por associatividade, podemos escrever isso como:
A partir das propriedades matriciais, sabemos também que o produto de uma matriz pela sua inversa resulta na matriz identidade, logo:
E como a matriz identidade é um elemento neutro na multiplicação:
Portanto, chegamos em uma igualdade verdadeira! O que significa que, para A e B invertíveis:
Passo 3
No entanto, se B não é invertível, não existe, e, assim, é impossível realizar o produto:
O que implica que
E, logo, AB não é invertível.
Resposta
Demonstração nos passos.
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