Enunciado

Sejam A e B matrizes nxn. Mostre que se B não é invertível, então AB também não o é.

Passo 1

Pelas propriedades matriciais, sabemos que o produto de duas matrizes invertíveis também é invertível.

Dado que B não é invertível, o produto AB não pode ser invertível. Vamos demonstrar matematicamente:

Supondo A e B invertíveis:

A B A B - 1 = I n

Que pode ser escrito como:

A B ( B - 1 ) ( A - 1 ) = I n

Passo 2

Por associatividade, podemos escrever isso como:

A ( B B - 1 ) A - 1 = I n

A partir das propriedades matriciais, sabemos também que o produto de uma matriz pela sua inversa resulta na matriz identidade, logo:

A ( I n ) A - 1 = I n

E como a matriz identidade é um elemento neutro na multiplicação:

A I n A - 1 = A A - 1

A A - 1 = I n

Portanto, chegamos em uma igualdade verdadeira! O que significa que, para A e B invertíveis:

A B A B - 1 = I n

Passo 3

No entanto, se B não é invertível, B B - 1 não existe, e, assim, é impossível realizar o produto:

A ( B B - 1 ) A - 1

O que implica que

A B A B - 1 ≠ I n

E, logo, AB não é invertível.

Resposta

Demonstração nos passos.

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