Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 14
Seja a matriz nxn, cujas entradas são iguais a 1. Mostre que se n > 1, então
Passo 1
E vamos para mais uma resolução!!
Inicialmente, vamos relembrar que, pelas propriedades matriciais, o produto da matriz pela sua inversa é a matriz identidade, ou seja, .
Assim, se temos uma matriz resultante da subtração de duas matrizes
Substituindo:
Passo 2
Como foi proposto na questão que
Vamos verificar se essa igualdade é válida a partir da comprovação da propriedade matricial
Assim, substituindo :
Que, realizando a distributiva, pode ser reescrito como:
Passo 3
Outra propriedade matricial nos diz que a multiplicação de uma matriz qualquer pela matriz identidade é a própria matriz, assim:
Como :
Subtraindo dos dois lados:
Reorganizando a equação:
Assim:
0 = 0
Como a igualdade obtida é verdadeira, sabemos que
É verdadeira e, portanto,
Resposta
Demonstração ao longo dos passos.
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