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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 38

Seja o espaço vetorial V = M ( 2 ,   2 ) e a transformação linear T : V → R 3 ,

T a b c d = ( a + b , c - d , 2 a )

a) Mostrar que T é linear.

b) Determinar T B A sendo A e B as bases canônicas de M ( 2 ,   2 ) e R 3 , respectivamente.

c) Calcular v ∈ V tal que T v = ( 3 , - 2 ,   4 ) .

d) Determinar N ( T ) .

Passo 1

O problema fornece uma transformação linear T de uma matriz 2 × 2 para um vetor do R 3 . No item (a) temos que provar que ela é linear. Para isso, temos que mostrar que

T u + v = T u + T v       e       T α u = α T ( u )

Para verificar a primeira relação, consideremos duas matrizes:

u = a 1 b 1 c 1 d 1         e         v = a 2 b 2 c 2 d 2

Assim,

T u + v = T a 1 + a 2 b 1 + b 2 c 1 + c 2 d 1 + d 2 = ( a 1 + a 2 + b 1 + b 2 , c 1 + c 2 - d 1 - d 2 , 2 a 1 + 2 a 2 )

Logo,

T u + v = a 1 + b 1 , c 1 - d 1 , 2 a 1 + a 2 + b 2 , c 2 - d 2 , 2 a 2 = T u + T ( v )

Agora vamos verificar a segunda propriedade:

T α a b c d = T α a α b α c α d = α a + α b , α c - α d , 2 α a = α a + b , c - d , 2 a

Logo,

T α a b c d = α T a b c d

Como a transformação satisfaz as duas propriedades, a transformação é linear!

Passo 2

Agora temos que escrever a matriz de transformação nas bases canônicas. Para isso, temos que calcular

T 1 0 0 0 ,   T 0 1 0 0 ,   T 0 0 1 0     e     T 0 0 0 1

Estes vetores serão as colunas da matriz de transformação! Calculando-os:

T 1 0 0 0 = ( 1 ,   0 ,   2 )

T 0 1 0 0 = ( 1 ,   0 ,   0 )

T 0 0 1 0 = ( 0 ,   1 ,   0 )

T 0 0 0 1 = ( 0 , - 1 ,   0 )

Assim, a matriz de transformação será

T A B = 1 1 0 0 0 1 2 0 0       0 - 1 0

Passo 3

Agora queremos achar v ∈ V tal que T v = ( 3 , - 2 ,   4 ) . Assim, teremos que

a + b , c - d ,   2 a = ( 3 , - 2 ,   4 )

Portanto,

a + b = 3 c - d = - 2 2 a = 4

Da terceira equação, temos a = 2 . Logo, na primeira tiramos b = 1 . Temos também que c = d - 2 . Logo,

v = 2 1 d - 2 d

Passo 4

Por fim, temos que achar o núcleo de T . Para isso, fazemos T v = ( 0 ,   0 ,   0 ) :

a + b = 0 c - d = 0 2 a = 0

Vemos então que a = b = 0 e c = d . Portanto, v ∈ N ( T ) se e somente se

v = 0 0 c c = c 0 0 1 1

Assim, o núcleo tem dim ⁡ N ( T ) = 1 e

N T = c 0 0 1 1 ,     c o m     c ∈ R

Resposta

T A B = 1 1 0 0 0 1 2 0 0       0 - 1 0

v = 2 1 d - 2 d

N T = c 0 0 1 1 ,     c o m     c ∈ R

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