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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 08

Um hexágono regular está contido em π : x + y + z - 1 = 0 . Sendo A = 1 ,   0 ,   0 e D = - 1 3 , 2 3 , 2 3 dois vértices diametralmente opostos, determine os outros quatro.

Passo 1

Veja a figura abaixo

Vamos dizer que E = x ,   y ,   z .

  1. Vamos calcular A D → :

    2. A D → = x A - x D 2 + y A - y D 2 + z A - z D 2 = 1 + 1 3 2 + 2 3 2 + 2 3 2

    ∴ A D → = 2 6 3

  2. Portanto, vemos que

A E → = A D → ⋅ cos ⁡ 30 ° = 2 6 3 3 2 = 2

E D → = A D → cos ⁡ 60 ° = 2 6 3 1 2 = 6 3

O centro O do hexágono é o ponto médio do segmento A D - :

O = A + D 2 = 1 3 , 1 3 , 1 3

Passo 2

Vamos calcular o produto escalar

A D → ⋅ A E → = A D → A E → cos ⁡ 30 °

- 4 3 , 2 3 , 2 3 ⋅ x - 1 ,   y ,   z = 2 6 3 2 3 2 = 2

∴ - 4 3 x - 1 + 2 3 y + 2 3 z = 2 ⟹ - 4 x + 2 y + 2 z = 2

Além disso, sabemos que E ∈ π , de modo que x + y + z - 1 = 0 . Na equação acima, temos

- 4 x + 2 y + z = 2 ∴ - 4 x + 2 1 - x = 2 ⟹ x = 0

Assim, segue que - 4 x + 2 y + 2 z = 2 ∴ 2 y + 2 z = 2 ⟹ z = 1 - y .

Devemos encontrar uma terceira equação.

Passo 3

Notemos que d E ,   O = d E ,   D , já que E O D é um triângulo equilátero. Assim,

0 - 1 3 2 + y - 1 3 2 + z - 1 3 2 = 6 3

∴ 1 9 + y - 1 3 2 + z - 1 3 2 = 2 3 ⟹ y - 1 3 2 + z - 1 3 2 = 5 9

Passo 4

Substituindo o valor de z = 1 - y , temos

y - 1 3 2 + y - 2 3 2 = 5 9 ∴ y 2 - 2 3 y + 1 9 + y 2 - 4 3 y + 4 9 = 5 9 ⟹

2 y 2 - 2 y = 0 ∴ y = 0 ∨ y = 1

Assim, temos z = 1 ou z = 0 . Note, portanto, que já encontramos dois pontos (E e C), dados pelas coordenadas 0,1 , 0 e 0,0 , 1 (veja que os pontos E e C são obtidos um do outro por uma rotação conveniente do hexágono).

Passo 5

Nos resta encontrar os dois vértices restantes. Para tal, note que:

  1. O A → = C B → ;
  2. D O → = E F → .

Assim, se tomarmos C = 0,1 , 0 e E = 0,0 , 1 , teremos:

A - O = B - C ∴ B = A + C - O = 1,0 , 0 + 0,1 , 0 - 1 3 , 1 3 , 1 3 = 2 3 , 2 3 , - 1 3

O - D = F - E ∴ F = O + E - D = 1 3 , 1 3 , 1 3 + 0,0 , 1 - - 1 3 , 2 3 , 2 3 = 2 3 ,   - 1 3 , 2 3

Resposta

Os vértices são 2 3 ,   - 1 3 , 2 3 ,   2 3 , 2 3 , - 1 3 ,   0,0 , 1 ,   0,1 , 0 .

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