Um hexágono regular está contido em π : x + y + z - 1 = 0 . Sendo A = 1 ,0 ,0 e D = - 1 3 , 2 3 , 2 3 dois vértices diametralmente opostos, determine os outros quatro.

Os vértices são 2 3 ,- 1 3 , 2 3 ,2 3 , 2 3 , - 1 3 ,0,0 , 1 ,0,1 , 0 .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 19.Exercício - Ex. 08

Um hexágono regular está contido em . Sendo e dois vértices diametralmente opostos, determine os outros quatro.

Passo 1

Veja a figura abaixo

Vamos dizer que .

Vamos calcular :

Portanto, vemos que

O centro do hexágono é o ponto médio do segmento :

Passo 2

Vamos calcular o produto escalar

Além disso, sabemos que , de modo que . Na equação acima, temos

Assim, segue que .

Devemos encontrar uma terceira equação.

Passo 3

Notemos que , já que é um triângulo equilátero. Assim,

Passo 4

Substituindo o valor de , temos

Assim, temos ou . Note, portanto, que já encontramos dois pontos (E e C), dados pelas coordenadas e (veja que os pontos e são obtidos um do outro por uma rotação conveniente do hexágono).

Passo 5

Nos resta encontrar os dois vértices restantes. Para tal, note que:

;
.

Assim, se tomarmos e , teremos:

Resposta

Os vértices são .

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