12 Seja C o espaço vetorial dos números complexos sobre R. Considere F, G e L(C) assim definidas:

Passo 1

a)

Nós vimos no finalizinho da seção que quando temos uma potenciação com expoentes naturais de um operador, a gente esta fazendo uma aplicação composta assim:

F 2 = F ∘ F

Aplicando na nossa questão

F 2 z = F ∘ F z

F 2 z = F F z

Substituindo o vetor F z , que já conhecemos:

F 2 z = F 2 2 + i 2 2 z

Fazendo o operação mais uma vez:

F 2 z = 2 2 + i 2 2 2 2 + i 2 2 z

F 2 z = 2 2 + i 2 2 2 z

Passo 2

b)

Podemos usar o resultado da questão anterior para auxiliar nessa, pois:

F 4 z = F 2 ∘ F 2 z

Então:

F 4 z = F 2 F 2 z

Substituindo o resultado da letra anterior:

F 4 = F 2 2 2 + i 2 2 2 z

Fazendo a operação mais uma vez:

F 4 = 2 2 + i 2 2 2 2 2 + i 2 2 2 z

F 4 = 2 2 + i 2 2 4 z

Passo 3

c)

Agora vamos fazer aqui, a mesma coisa que fizemos na letra a)

G 2 z = G G z

Substituindo o vetor F z , que já conhecemos:

G 2 z = G i z

Fazendo o operação mais uma vez:

G 2 z = i i z

G 2 z = - z

Passo 4

d)

Precisamos calcular:

F ∘ G z = F ( G z )

Conhecemos G z :

F ∘ G z = F i z

E conhecemos o operador F :

F ∘ G z = 2 2 + i 2 2 i z

Podemos simplificar essa expressão:

F ∘ G z = - 2 2 + i 2 2 z

Passo 5

e)

Por ultimo precisamos resolver a seguinte expressão:

F ∘ G ∘ F ∘ G z

Sabemos que podemos escrever as aplicações compostas dessa maneira:

F ∘ G ∘ F ∘ G z = F ∘ G F ∘ G z

Conhecemos o operador F ∘ G , pois o encontramos na letra d), então vamos ter:

F ∘ G ∘ F ∘ G z = F ∘ G - 2 2 + i 2 2 z

Fazendo o operação mais uma vez:

F ∘ G ∘ F ∘ G z = - 2 2 + i 2 2 - 2 2 + i 2 2 z

F ∘ G ∘ F ∘ G z = - 2 2 + i 2 2 2 z

Resposta

a)

F 2 z = 2 2 + i 2 2 2 z

b)

F 4 = 2 2 + i 2 2 4 z

c)

G 2 z = - z

d)

F ∘ G z = - 2 2 + i 2 2 z

e)

F ∘ G ∘ F ∘ G z = - 2 2 + i 2 2 2 z

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