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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 1

Determine se a função é uma transformação linear. Justifique sua resposta.

T : V → R , sendo V um espaço vetorial com produto interno T u = | u |

Passo 1

Primeiramente para resolvermos esse exercício devemos saber o que é uma transformação linear e o que seria esse trem?

Pois então, temos que uma transformação é um tipo de função entre espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por um escalar e é exatamente isso que vamos utilizar para resolver esse exercício. Nossa transformação pega uma entrada u e tem como saída | u | , então, para que ela seja uma transformação linear deve atender aos dois princípios mencionados, no entanto, se pegarmos α e β como sendo escalares e utilizando a desigualdade triangular vamos ter que

α u 1 + β u 2 ≤ α ⋅ u 1 + β ⋅ u 2

Sabemos da nossa experiência trabalhando com módulo que em geral essa desigualdade não carrega consigo o “valor” de igualdade, portanto, nossa transformação não é linear.

Resposta

N ã o   é   u m a   t r a n s f o r m a ç ã o   l i n e a r

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Sejam F e G operadores lineares de um espaço V tais que F ∘ G = G ∘ F . Mostrar que ker ⁡ F + ker ⁡ G ⊂ ker ⁡ F ∘ G .
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Sejam F e G dois operadores lineares de um espaço vetorial V . Mostre que ker ⁡ G ⊂ ker ⁡ F ∘ G . Dê um exemplo onde vale a igualdade.
Seja F ∈ L R 2 dado por F x , y = y , x . Determine F n x , y , sendo n ≥ 1 um número inteiro. Mesmo exercício com G ∈ L R 2 dada por G x , y = x , 0 .
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