15. (a) Prove a parte (b) do Teorema 9.5.1 mostrando primeiro que l i n A T A é um subespaço de l i n A .

(b) Prove a parte (c) do Teorema 9.5.1 usando a parte (b).

Passo 1

Bem... vamos usar aqui o teorema (que tem em capítulos anteriores) da dimensão para transformações linear. E que também é super chamado de teorme do núcleo e imagem.

p o s T + n u l T = n

Em outra palavras: a nulidade + o posto da matriz é igual ao número de colunas.

Como têm o mesmo número de colunas, então:

p o s A + n u l A = p o s A T A + n u l A T A

Como foi provado na parte (a) que:

n u l A = n u l A T A

Então...

p o s A = p o s A T A

Como queríamos demonstrar.

Resposta

p o s A = p o s A T A

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