Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.2 - Ex. 23
23. Prove: se e forem matrizes e uma matriz , então
Passo 1
Vamos tentar representar tudo que tem nessa coisa esquisita:
Passo 2
Vamos começar a fazer essas multiplicações de matrizes pra ver se aparece algo bonito:
Hummmmm... essa multiplicação vai dar um vetor “deitado”
Fazendo agora:
Então:
Concorda que isso é o produto interno entre dois vetores iguais? Ou a norma de um vetor ao quadrado (que é quase a mesma coisa).
Se fizermos pra v, vamos achar a mesma coisa...
Pela desiguadade de Cauchy podemos concluir:
Resposta
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18. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a ambos u 1 e u 2 , então w é ortogonal a k 1 u 1 + k 2 u 2 , quaiquer que sejam os escalares k 1 e k 2 . Interprete esse result
19. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a cada um dos vetores u 1 , u 2 , ... , u f , então w é ortogonal a cada vetor em ger{ u 1 , u 2 , ... , u f }.
17. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se u e v forem vetores unitários ortogonais em V , então u - v = 2 .
Sejam w 1ew 2 subespaços de um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno V . Mostre que w 1 + w 2 ⊥ = w 1 ⊥ ∩ w 2 ⊥ eq u ew 1 ∩ w 2 ⊥ = w 1 1 + w 2 ⊥ .
Seja V = C 0 [ a , b ] o conjunto das funções contínuas do intervalo a , be mR com o produto interno definido porf , g = ∫ a b f t g t d t a) mostre que os polinômios Q n t = p n 2 t - a - b b - a são