23. Prove: se u e v forem matrizes n × 1 e A uma matriz n × n , então

v T A T A u 2 ≤ u T A T A u v T A T A v

Passo 1

Vamos tentar representar tudo que tem nessa coisa esquisita:

v = v 1 v 2 ⋮ v n

v T = v 1 v 2 … v n

u = u 1 u 2 ⋮ u n

u T = u 1 u 2 … u n

A = a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n

A T = a 11 a 21 a 12 a 22 ⋯ a n 1 a n 2 ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n

Passo 2

Vamos começar a fazer essas multiplicações de matrizes pra ver se aparece algo bonito:

u T A T = u 1 u 2 … u n a 11 a 21 a 12 a 22 ⋯ a n 1 a n 2 ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a n n

Hummmmm... essa multiplicação vai dar um vetor “deitado”

u T A T = [ u 1 a 11 + a 12 + … + a 1 n u 2 a 21 + a 22 + … + a 2 n … u n a n 1 + a n 2 + … + a n n

Fazendo agora:

A u = a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n u 1 u 2 ⋮ u n

A u = u 1 a 11 + a 12 + … + a 1 n u 2 a 21 + a 22 + … + a 2 n ⋮ u n a n 1 + a n 2 + … + a n n

Então:

u T A T A u = u 1 a 11 + a 12 + … + a 1 n u 1 a 11 + a 12 + … + a 1 n + u 2 a 21 + a 22 + … + a 2 n u 2 a 21 + a 22 + … + a 2 n + … + u n a n 1 + a n 2 + … + a n n u n a n 1 + a n 2 + … + a n n

Concorda que isso é o produto interno entre dois vetores iguais? Ou a norma de um vetor ao quadrado (que é quase a mesma coisa).

Se fizermos pra v, vamos achar a mesma coisa...

Pela desiguadade de Cauchy podemos concluir:

v T A T A u 2 ≤ u T A T A u v T A T A v

Resposta

v T A T A u 2 ≤ u T A T A u v T A T A v

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