20. Seja { v 1 ,   v 2 ,   …     , v r } uma base de um espaço com produto interno V . Mostre que o vetor nulo é o único vetor em V que é ortogonal a cada um dos vetores da base.

Passo 1

Bem... Vamos representar um vetor aleatório da base:

v → k = k v 1 , k v 2 , … ,   k v r

Onde k é uma constante e diferente de zero.

Agora pegamos um vetor em V v → l = l v 1 , l v 2 , … ,   l v r e fazer o produto interno com o outro vetor e igualar a zero (pra serem ortogonais):

v → k ⋅   v → l = 0

k v 1 l v 1 + k v 2 l v 2 + … + k v r l v r = 0

k l v 1 2 + k l v 2 2 + … + k l v r 2 = 0

Se fixarmos k diferente de zero. A única forma disso acontecer é quando l = 0 , então

v → l = 0 , 0 , … ,   0

Como queríamos demonstrar.

Resposta

v → l = 0,0 , … ,   0

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