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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 2.1 - Ex. 2.c

2.1.2 Se possível, encontre as inversas das seguintes matrizes:

(c) 1 1 1 1 1 2 - 1 2 1 - 1 2 1 1 3 3 2

Passo 1

Para iniciar a resolução, cabe relembrar que o produto entre a matriz e a sua inversa é igual a matriz identidade. Ou seja, C ⋅ C - 1 = I n . Aplicando a esse exercício, tem-se:

1 1 1 1 1 2 - 1 2 1 - 1 2 1 1 3 3 2 .   a b c d e f g h ⅈ j k l m m o p = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Passo 2

Aplicando o passo 1 na matriz acima, temos que a matriz fica:

a + e + i + m b + f + j + n c + g + k + o d + h + l + p a + 2 e - i + 2 m b + 2 f - j + 2 n c + 2 g - k + 2 o d + 2 h - l + 2 p a - e + 2 i + m b - f + 2 j + n c - g + 2 k + o d - h + 2 l + p a + 3 e + 3 i + 2 m b + 3 f + 3 j + 2 n c + 3 g + 3 k + 2 o d + 3 h + 3 l + 2 p = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Então, as equações são:

a + e + i + m = 1 b + f + j + n = 0 c + g + k + o = 0 d + h + l + p = 0

a + 2 e - i + 2 m =0 b + 2 f - j + 2 n = 1 c + 2 g - k + 2 o = 0 d + 2 h - l + 2 p = 0

a - e + 2 i + m = 0 b - f + 2 j + n = 0 c - g + 2 k + o = 1 d - h + 2 l + p = 0

a + 3 e + 3 i + 2 m = 0 b + 3 f + 3 j + 2 n = 0 c + 3 g + 3 k + 2 o = 0 d + 3 h + 3 l + 2 p = 1

Passo 3

Resolvendo os sistemas, temos que:

a = 7 / 3 b = - 1 / 3 c = - 1 / 3 d = - 2 / 3 e = 4 / 9 f = - 1 / 9 g = - 4 / 9 h = 1 / 9 ⅈ = - 1 / 9 j = - 2 / 9 k = 1 / 9 l = 2 / 9 m = - 5 / 3 n = 2 / 3 o = 2 / 3 p = 1 / 3

Resposta

C - 1 = 7 / 3 - 1 / 3 - 1 / 3 - 2 / 3 4 / 9 - 1 / 9 - 4 / 9 1 / 9 - 1 / 9 - 2 / 9 1 / 9 2 / 9 - 5 / 3 2 / 3 2 / 3 1 / 3

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Verificar quais das seguintes matrizes são inversíveis e determinar as inversas respectivas:C) A = 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 - 1 0 2 0 3
Verificar quais das seguintes matrizes são inversíveis e determinar as inversas respectivas: 1 2 2 2
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Dada a matriz A = 1 0 0 - 1 Calcular A 2 = A A ,A 3 = A A A , … ,A n = A … A (n vezes).
Resolver os seguintes sistemas de Cramer: x - y = 4 x + y = 0