Enunciado

28 Encontre todos os escalares c1, c2, c3 tais que

c 1 - 1 ,   0 ,   2 + c 2 2 ,   2 ,   - 2 + c 3 1 ,   - 2 ,   1 = - 6 ,   1 2 ,   4

Passo 1

Vamos multiplicar esses escalares. Quando multiplicamos um vetor por um escalar precismos multiplicar cada componente desse vetor por esse escalar, nesse caso:

c 1 - 1 ,   0 ,   2 = - c 1 ,   0 ,   2 c 1

c 2 2 ,   2 ,   - 2 = 2 c 2 ,   2 c 2 ,   - 2 c 2

e

c 3 1 ,   - 2 ,   1 = c 3 ,   - 2 c 3 ,   c 3

Substituindo tudo na equação dada:

- c 1 ,   0 ,   2 c 1 + 2 c 2 ,   2 c 2 ,   - 2 c 2 + c 3 ,   - 2 c 3 ,   c 3 = - 6 ,   1 2 ,   4

Passo 2

Quando queremos somar ou subtrair vetores precisamos somar ou subtrair cada componente com o termo corrrespondente do outro vetor, ou seja, x com x, y com y, z com z e assim por diante.

Somando os termos, temos:

- c 1 ,   0 ,   2 c 1 + 2 c 2 ,   2 c 2 ,   - 2 c 2 + c 3 ,   - 2 c 3 ,   c 3 = - 6 ,   12 ,   4

- c 1 + 2 c 2 + c 3 ,   2 c 2 - 2 c 3 ,   2 c 1 - 2 c 2 + c 3 = - 6 ,   1 2 ,   4

Vamos montar uma equação para cada um desses termos:

- c 1 + 2 c 2 + c 3 = - 6 2 c 2 - 2 c 3 = 1 2 2 c 1 - 2 c 2 + c 3 = 4

Passo 3

Vamos resolver esse sistema escrevendo a matriz aumentada e escalonando ela:

- 1 2 1 0 2 - 2 2 - 2 1 - 6 12 4

Multiplicando a primeira linha por - 1 :

1 - 2 - 1 0 2 - 2 2 - 2 1 6 12 4

Somando - 2 vezez a primeira linha na terceira:

1 - 2 - 1 0 2 - 2 0 2 3 6 12 - 8

Somando - 1 vez a segunda linha na terceira:

1 - 2 - 1 0 2 - 2 0 0 5 6 12 - 2 0

Dividindo a segunda linha por 2 :

1 - 2 - 1 0 1 - 1 0 0 5 6 6 - 2 0

Dividindo a terceira linha por 5:

1 - 2 - 1 0 1 - 1 0 0 1 6 6 - 4

Somando a terceira linha na segunda:

1 - 2 - 1 0 1 0 0 0 1 6 2 - 4

Somando a terceira linha na primeira:

1 - 2 0 0 1 0 0 0 1 2 2 - 4

Somando 2 vezes a segunda linha na primeira:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 6 2 - 4

Ou seja

c 1 = 6

c 2 = 2

c 3 = - 4

Resposta

c 1 = 6

c 2 = 2

c 3 = - 4

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