Enunciado

24 Sejam u= 1 ,   - 1 ,   3 ,   5 e v = 2 ,   1 ,   0 ,   - 3 . Encontre escalares a e b tais que au+bv= 1 ,   - 4 ,   9 ,   1 8 .

Passo 1

Vamos montar essa equação:

a u + b v = 1 ,   - 4 ,   9 ,   18

Quando multiplicamos um vetor por um escalar precismos multiplicar cada componente desse vetor por esse escalar, nesse caso:

a u = a ⋅ 1 ,   - 1 ,   3 ,   5

Multiplicando cada termo:

a u = a ,   - a ,   3 a ,   5 a

Além desse vetor, também temos:

b v = b ⋅ 2 ,   1 ,   0 ,   - 3

Multiplicando cada termo:

b v = 2 b ,   b ,   0 ,   - 3 b

Substituindo tudo na equação dada:

a ,   - a ,   3 a ,   5 a + 2 b ,   b ,   0 ,   - 3 b = 1 ,   - 4 ,   9 ,   18

Passo 2

Quando queremos somar ou subtrair vetores precisamos somar ou subtrair cada componente com o termo corrrespondente do outro vetor, ou seja, x com x, y com y, z com z e assim por diante.

Somando os termos temos:

a ,   - a ,   3 a ,   5 a + 2 b ,   b ,   0 ,   - 3 b = 1 ,   - 4 ,   9 ,   18

a + 2 b ,   - a + b ,   3 a ,   5 a - 3 b = 1 ,   - 4 ,   9 ,   18

Vamos montar uma equação para cada um desses termos:

a + 2 b = 1 - a + b = - 4 3 a = 9 5 a - 3 b = 18

A terceira equação já nos fornece o valor de a :

3 a = 9

a = 3

Passo 3

Agora vamos substituir nas outras três equação para ver se encontramos o mesmo valor de b em todas elas.

1ª equação:

a + 2 b = 1

Subtituindo o valor de a :

3 + 2 b = 1

Isolando o b :

2 b = 1 - 3

2 b = - 2

b = - 1

2ª equação:

- a + b = - 4

Substituindo o valor de a :

- 3 + b = - 4

Isolando o b :

b = - 4 + 3

b = - 1

4ª equação:

5 a - 3 b = 18

Substituindo o valor de a :

5 ⋅ 3 - 3 b = 18

Isolando o b :

15 - 3 b = 18

3 b = 15 - 18

3 b = - 3

b = - 1

Ou seja, para todas as equações:

a = 3

e

b = - 1

Resposta

a = 3

e

b = - 1

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