Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 26
26. Suponha que o tenha o produto interno euclidiano. O subespaço de gerado pelos vetores e é um plano passando pela origem. Expresse na forma , sendo um vetor no plano e perdendicular ao plano.
Passo 1
Vamos usar o processo de Gram-Schmidt para achar dois vetores ortogonais, um em e outro em .
Primeiro para :
Passo 2
Agora para :
Fazendo o produto interno:
Então:
Passo 3
Agora fazemos as projeções:
Fazendo os produtos internos:
Calculando a norma de e :
Então:
Substituindo os vetores:
Passo 4
E para :
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
24. Suponha que R 3 tenha o produto interno euclidiano. Encontre uma base ortonormal do subespaço gerado por 0,1 , 2 ,- 1,0 , 1 , ( - 1,1 , 3 ) .
23. Suponha que R 2 tenha o produto interno euclidiano. Em cada parte, use o processo de Gram-Schmidt para transformar a base u → 1 , u → 2 , u → 3 , u → 4 numa base ortonormal.u → 1 = 0,2 , 1,0 , u →
30. No passo 3 da prova do Teorema 6.3.5, foi afirmado que “a independência linear de { u 1 , u 2 , … ,u n } garante que v 3 ≠ 0 ”. Prove essa afirmação.
31. Prove as entradas na diagonal de R na fórmula (15) são não nulas.
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1