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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 2.Exercício - Ex. 4

4.Prove que u → + z → = u → ⇒ z → = 0 → e que u → + z → = 0 →   ⇒   z → = - u → . Essas propriedades asseguram a unicidade do elemento neutro e do elemento oposto.

Passo 1

Utilizaremos as propriedades associativas, comutativas, elemento neutro e elemento oposto.

Associativa:

u → + v → + w → = u → + v → + w →

Comutativa:

u → + v → = v → + u →

Elemento Neutro:

u → + 0 → = 0 → + u → = u →

Elemento Oposto:

u → + - u → = 0 → = - u → + u →

Passo 2

Começaremos por u → + z → = u → ⇒ z → = 0 → .

Partindo de:

u → + z → = u →

Somando - u → de ambos os lados da equação, temos:

- u → + u → + z → = u → - u →

Utilizando a propriedade associativa e do elemento neutro, temos:

z → + u → - u → = 0 →

Utilizando novamente do elemento neutro, temos:

z → + 0 → = 0 →

z → = 0 →

Passo 3

Agora vamos para a próxima demonstração que o enunciado nos pede:

u → + z → = 0 →   ⇒   z → = - u →

Partindo de:

u → + z → = 0 →

Somando - u → de ambos os lados da equação, temos:

- u → + u → + z → = 0 → - u →

Utilizando a propriedade associativa e do elemento neutro, temos:

z → + u → - u → = - u →

Utilizando novamente do elemento neutro, temos:

z → + 0 → = - u →

z → = - u →

Demonstramos a segunda parte do problema! Acabamos com ele!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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