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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 6.1 - Ex. 3

6.1.3. Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos que equidistante das retas:

r: (x, y, z) = (0,-1,0) + t (1,0,0) e s: (x, y, z) = (0,1,0) = t (0,0,1).

Que lugar Geométrico é esse?

Passo 1

Sabendo que Lugar geométrico nada mais é do que um conjunto de pontos e, como todo conjunto, ele deve estar bem definido. Se um ponto possui uma propriedade podemos imaginar o conjunto de todas as posições que pode assumir. Podemos adotar como hipótese que o lugar geométrico nesse caso é uma quádrica.

O primeiro passo consiste em organizar em uma equação as informações dadas acima:

D i s t X , r = D i s t X , s

z 2 + y + 1 2 = y - 1 2 + x 2

Passo 2

O segundo passo é expandir e simplificar a equação acima, de forma a encontrar qual quádrica ela pertence.

z 2 + y + 1 2 = y - 1 2 + x 2

z 2 - x 2 = - 4 y

Passo 3

O Terceiro passo é encontrar a quádrica a qual essa equação pertence, e para isso, basta compará-la as equações gerais das quádricas. Nesse sentido, pode-se inferir que esta equação representa um PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO que pode ser descrito pela seguinte equação geral:

b y = x 2 a 2 - z 2 c 2

Ressalto aqui, que o Paraboloide Hiperbólico pode também ser expresso pelas seguintes equações: a x = y 2 b 2 - z 2 c 2   e c z = x 2 a 2 - y 2 b 2

Resposta

O lugar geométrico é um Paraboloide Hiperbólico.

Exercícios de Livros Relacionados

Interprete o segundo membro de [20-10] como:Quociente de um volume por uma área;Comprimento da projeção ortogonal de um vetor sobre outro.
Descreva, em cada caso, o lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que a distância entre a reta r : X = 3,2 , 1 + λ 0,1 , 2 e a reta s determinada por B e X seja 3. B = 0,2 , 1 B = 0,0 , 2 B = 3,1 ,
Descreva, em cada caso, o lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que a distância entre a reta r : X = 3,2 , 1 + λ 0,1 , 2 e a reta s determinada por B e X seja 3. B = 0,2 , 1 B = 0,0 , 2 B = 3,1 ,
Obtenha uma equação vetorial da reta que contêm a origem, dista 2 de s : X = 0 , 1 , 2 + λ 0 , 1,0 e forma ângulos congruentes com t : X = 1 , 1 , 2 + λ 1 , - 1 , 0 e h : X = 2,3 , - 1 + λ 1,1 , 0 .
Obtenha uma equação vetorial da reta que contêm o ponto A = 1,1 , 1 , está a distância de 1 / 2 de s : X = 0,1 , 0 + λ 0,0 , 1 e forma com π : 2 x - z = 0 um ângulo cujo cosseno é 7 / 15 .