Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 51
Interprete o segundo membro de [20-10] como:
- Quociente de um volume por uma área;
- Comprimento da projeção ortogonal de um vetor sobre outro.
Passo 1
Primeiramente, vamos nos lembrar o que a equação [20-10] dizia. Ela é a fórmula utilizada para calcular a distância entre duas retas reversas e . A fórmula é:
Sendo que o vetor é um vetor que tem como representante um segmento orientado que parte de , ponto pertencente a reta , e termina em , ponto pertencente a reta .
A letra a) nos pede para analisar esta fórmula como um quociente de volume por área. Bom, isto não é muito difícil, a gente só precisa estar seguros com a análise geométrica de um produto misto e um produto vetorial.
Observem que o numerador da fórmula [20-10] é o produto misto entre , e . Ao estudarmos o produto misto, verificamos que o seu módulo é exatamente o volume de um paralelepípedo de lados dados pelos seus vetores.
Já ao estudar a norma de um produto vetorial, veificamos que ela representa a área do paralelogramo de lados formado pelos vetores.
Portanto, temos:
Portanto, a distância é a altura do paralelepípedo relativa à base formada pelos vetores e .
Passo 2
Para verificarmos a letra b), vamos relembrar a fórmula de projeção de um vetor em um vetor . Ela será:
E a norma desta projeção será:
Está parecido com a fórmula [20-10]! Vamos coloca-la lado a lado e comparar.
Se dissermos que o vetor é e o vetor é , temos a nossa relação! Portanto,
Resposta
- A distância é a altura do paralelepípedo relativa à base formada pelos vetores e .
- A distância é a norma da projeção do vetor no vetor .