Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 49b
Descreva, em cada caso, o lugar geométrico dos pontos de tais que a distância entre a reta e a reta determinada por e seja 3.
Passo 1
Vamos lá! Queremos construir uma reta que dista 3 da reta . Como estamos falando de distância entre retas, a análise da posição relativa se torna um fator fundamental.
Devemos nos questionar se as retas são paralelas distintas ou reversas. A resposta deste questionamento irá nos dizer qual fórmula devemos utilizar.
E como saberemos isso? A chave da questão está na seguinte pergunta: qual é a distância do ponto para a reta ?
Se , a reta pode ser tanto paralela distinta quanto reversa. Na grande realidade, não importa a direção da reta reversa, desde que ela esteja contida no plano paralelo a reta e que contém o ponto . Portanto, a solução é um plano paralelo a e que contém .
Se , não podemos ter o caso de retas paralelas, somente o de retas reversas.
E, por fim, se , o resultado será o conjunto vazio. Se buscamos a menor distância possível de uma reta para outra, automaticamente, temos que esta distância será menor que 3, então, não satisfará o nosso requisito.
Passo 2
Discutido o passo 1, vamos calcular esta distância entre a reta e o ponto . Seja um ponto pertencente a , temos:
Eita! Como , não podemos ter o caso de retas paralelas. Teremos somente o caso de retas reversas. Neste caso, também vamos construir um plano paralelo a reta .
A diferença agora é que a distância deste plano até a reta deve ser igual a 3. Logo, não poderemos obter uma reta perpendicular a que passa por para obter o nosso plano. Precisaremos de um artifício diferente.
Passo 3
Sabemos que a nossa solução será dada na forma de um plano . Também sabemos que este plano é paralelo a e que contém . Portanto, se contém , temos:
E se é paralelo a , temos:
Portanto, o nosso plano tem o seguinte formato: . E como faremos para descobrir quem é e ? Precisamos de mais uma relação.
Esta relação será exatamente a distância. Portanto,
Então, temos duas possibilidades. Se , temos:
Ou simplesmente, . Já se , temos:
Ou simplesmente, .
Estamos quase lá! Só precisamos subtrair o caso da reta paralela a da solução, pois os dois planos que obtivemos contém a reta. Portanto, precisamos tirar a reta da solução.
Portanto, a solução é qualquer ponto pertencentes ao plano ou com exceção da reta .
Resposta
A solução é qualquer ponto pertencentes ao plano ou com exceção da reta .