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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 46

Obtenha uma equação vetorial da reta que contêm o ponto A = 1,1 , 1 , está a distância de 1 / 2 de s : X = 0,1 , 0 + λ 0,0 , 1 e forma com π : 2 x - z = 0 um ângulo cujo cosseno é 7 / 15 .

Passo 1

Vamos lá! Queremos determinar uma equação vetorial (foca no formato da equação!) de uma reta r que contém um ponto A = 1,1 , 1 . Portanto, temos a seguinte reta:

r : X = A + λ r →

r : X = 1,1 , 1 + λ r →

Vamos dizer que o vetor diretor dessa reta r é dado por r → = a , b , c . Quem são essas incógnitas? Não sabemos ainda, mas iremos saber já!

Passo 2

A primeira informação (conter o ponto) já foi utilizada. Vamos agora utilizar outras informações dadas na questão. Começaremos pela distância das retas.

Aqui é um pouco mais complicado pois a posição relativa entre as retas é um fator a ser considerado na hora de escolher a fórmula.

Então, vamos começar verificando que a retas r e s não podem ser paralelas distintas. Mas como faremos isto? Simples. Através do ângulo da reta e do plano.

Então, vamos calcular o ângulo entre a reta s e o plano π (ou melhor, o seu seno). Portanto,

sen ⁡ θ 2 = s → ⋅ n → | | s → | | ⋅ | | n → | | = 0,0 , 1 ⋅ 2,0 , - 1 0 2 + 0 2 + 1 2 ⋅ 2 2 + 0 2 + - 1 2

sen ⁡ θ 2 = - 1 1 ⋅ 5 = 1 5 = 5 5

Agora, vamos verificar o seno do ângulo θ 1 , formado entre o plano π e a reta r . Logo,

sen 2 ⁡ θ 1 + cos 2 ⁡ θ 1 = 1

sen 2 ⁡ θ 1 + 7 15 2 = 1

sen 2 ⁡ θ 1 + 7 15 = 1

sen 2 ⁡ θ 1 = 8 15

sen ⁡ θ 1 = 8 15

Como ambos os valores são diferentes, as retas não podem ser paralelas distintas! Elas devem ser, obrigatoriamente, reversas!

Passo 3

Agora que verificamos que as duas retas só podem ser reversas, vamos calcular essa distância em si. Logo, a sua distância é dada por:

d r , s = A B → , r → , s → | | r → ∧ s → | | = 1 2

Sendo B um ponto qualquer de s . Escolheremos B = 0 , 1 , 0 pois já nos foi dado no enunciado da questão. Agora, é só repetir o que já fizemos bastante nesta questão. Portanto,

A B → = B - A = 0,1 , 0 - 1,1 , 1 = - 1,0 , - 1

A B → , r → , s → = - 1 0 - 1 a b c 0 0 1 = - b

r → ∧ s → = i j k a b c 0 0 1 = b i + - a j = b , - a , 0

Substituindo na relação de distância, temos:

d r , s = A B → , r → , s → | | r → ∧ s → | | = - b b 2 + - a 2 + 0 2 = - b a 2 + b 2 = 1 2

2 ⋅ - b = a 2 + b 2

Vamos elevar ambos os membros ao quadrado e resolver a equação do segundo grau associada. Portanto,

2 b 2 = a 2 + b 2

a 2 = b 2

a = ± b

Chegamos a nossa primeira relação! Sabemos que a 2 = b 2 , ou simplesmente, a = ± b . Então, na hora de escrevermos nosso vetor devemos nos preocupar que com duas possibilidades: a , a , c ou a , - a , c .

Passo 4

Agora, vamos utilizar a relação do ângulo entre a reta r e o plano π . Sabemos que o seno do ângulo entre a reta e o plano é dado pela seguinte expressão:

sen ⁡ θ = M ó d u l o   d o   p r o d u t o   i n t e r n o   d o   v e t o r   d a   r e t a   p e l o   v e t o r   n o r m a l   d o   p l a n o   P r o d u t o   d a   n o r m a   d o s   v e t o r e s   d i r e t o r   d a   r e t a   p e l o   n o r m a l   d o   p l a n o

Portanto,

sen ⁡ θ 1 = r → ⋅ n → | | r → | | ⋅ | | n → | | = 8 15

Então, vamos desenvolver a relação acima. Portanto,

a , b , c ⋅ 2,0 , - 1 a 2 + b 2 + c 2 ⋅ 2 2 + 0 2 + - 1 2 = 8 15

Mas, no passo anterior, verificamos que a 2 = b 2 . Então, continuando, temos:

2 a - c 2 a 2 + c 2 ⋅ 5 = 8 15 = 8 5 ⋅ 3

2 a - c 2 a 2 + c 2 = 8 3

3 ⋅ 2 a - c = 8 ⋅ 2 a 2 + c 2

Elevando ao quadrado ambos os membros, temos:

3 ⋅ 2 a - c 2 = 8 ⋅ 2 a 2 + c 2

3 ⋅ 4 a 2 - 4 a c + c 2 = 16 a 2 + 8 c 2

12 a 2 - 12 a c + 3 c 2 = 16 a 2 + 8 c 2

4 a 2 + 12 a c + 5 c 2 = 0

Considerando a variável a como incógnita e todo o resto como “número”, isto é:

4 a 2 + 12 c a + 5 c 2 = 0

Resolvendo esta equação do segundo grau em função de a , obteremos a seguinte solução:

a = - 12 c ± 12 c 2 - 4 ⋅ 4 ⋅ 5 c 2 8 = - 12 c ± 8 c 8

Obtemos que a = - c / 2 ou a = - 5 c / 2 . Ou melhor, c = - 2 a e c = - 2 a / 5 . Nesta hora devemos tomar muito, mas muito cuidado mesmo!!!!!!

Lembrem-se que anteriormente obtivemos duas possibilidades: a , a , c e a , - a , c . Agora, como obtivemos mais duas possibilidades, teremos um total de 4 vetores. Sim, para cada um dos casos anteriores devemos aplicar as duas relações que obtivemos. Portanto,

a , a , c ⟹ a , a , - 2 a = a 1,1 , - 2 a , a , - 2 a 5 = a 1,1 , - 2 5

a , - a , c ⟹ a , - a , - 2 a = a 1 , - 1 , - 2 a , - a , - 2 a 5 = a 1 , - 1 , - 2 5

Pegando apenas a parte dos números do vetor (esquecendo a letra a), pois queremos apenas um vetor que seja paralelo a ele, teremos as seguintes retas.

r 1 : X = 1,1 , 1 + λ 1,1 , - 2

r 2 : X = 1,1 , 1 + λ 1,1 , - 2 5

r 3 : X = 1,1 , 1 + λ 1 , - 1 , - 2

r 4 : X = 1,1 , 1 + λ 1 , - 1 , - 2 5

Resposta

r 1 : X = 1,1 , 1 + λ 1,1 , - 2

r 2 : X = 1,1 , 1 + λ 1,1 , - 2 5

r 3 : X = 1,1 , 1 + λ 1 , - 1 , - 2

r 4 : X = 1,1 , 1 + λ 1 , - 1 , - 2 5

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