Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 49a
Descreva, em cada caso, o lugar geométrico dos pontos de tais que a distância entre a reta e a reta determinada por e seja 3.
Passo 1
Vamos lá! Queremos construir uma reta que dista 3 da reta . Como estamos falando de distância entre retas, a análise da posição relativa se torna um fator fundamental.
Devemos nos questionar se as retas são paralelas distintas ou reversas. A resposta deste questionamento irá nos dizer qual fórmula devemos utilizar.
E como saberemos isso? A chave da questão está na seguinte pergunta: qual é a distância do ponto para a reta ?
Se , a reta pode ser tanto paralela distinta quanto reversa. Na grande realidade, não importa a direção da reta reversa, desde que ela esteja contida no plano paralelo a reta e que contém o ponto . Portanto, a solução é um plano paralelo a e que contém .
Se , não podemos ter o caso de retas paralelas, somente o de retas reversas.
E, por fim, se , o resultado será o conjunto vazio. Se buscamos a menor distância possível de uma reta para outra, automaticamente, temos que esta distância será menor que 3, então, não satisfará o nosso requisito.
Passo 2
Discutido o passo 1, vamos calcular esta distância entre a reta e o ponto . Seja um ponto pertencente a , temos:
Eita! Como , a resposta da nossa questão é exatamente um plano paralelo a que contém . Portanto, temos que descobri-lo.
Passo 3
Vamos obter o vetor de uma reta perpendicular a que passa por . Com este vetor, teremos automaticamente o vetor normal do plano e conseguiremos montar nosso plano.
Para isto, vamos descobrir a projeção do vetor . Aí, vamos subtrair o vetor da projeção, encontrando assim o vetor perpendicular a . Assim, teremos o vetor normal do plano. Portanto,
A projeção é o vetor nulo? Então, significa que o vetor é o vetor ortogonal que estamos buscando, o vetor normal do plano! Só para facilitar as contas, vamos dividir esse vetor por -3.
Sendo assim, temos e o seguinte plano
Substituindo as coordenadas de , descobrimos que
Então, nosso plano é:
Estamos quase lá! Só precisamos subtrair o ponto da solução, para que consigamos formar uma reta.
Portanto, a solução é qualquer ponto pertencentes ao plano com exceção do ponto .
Resposta
A solução é qualquer ponto pertencentes ao plano com exceção do ponto .