Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 45
Obtenha uma equação vetorial da reta que contêm a origem, dista 2 de e forma ângulos congruentes com e .
Passo 1
Vamos lá! Queremos determinar uma equação vetorial (foca no formato da equação!) de uma reta que contém um ponto , a origem. Portanto, temos a seguinte reta:
Vamos dizer que o vetor diretor dessa reta é dado por . Quem são essas incógnitas? Não sabemos ainda, mas iremos saber já!
Passo 2
A primeira informação (conter o ponto) já foi utilizada. Vamos agora utilizar outras informações dadas na questão. Começaremos pela parte de congruência.
Congruência, em outras palavras, é formar os mesmos ângulos. Portanto,
Mas sabemos que o cosseno do ângulo entre duas retas é dado pela seguinte expressão:
Portanto,
Desenvolvendo esta relação, temos:
Temos duas possibilidades:
Portanto, temos duas possibilidades de vetor diretor: e .
Passo 3
Vamos partir para a última relação: distância da reta até a reta é igual a 2.
Aqui é um pouco mais complicado pois a posição relativa entre as retas é um fator a ser considerado na hora de escolher a fórmula.
Para isto, vamos dividir a nossa análise no caso dos dois vetores diretores obtidos anteriormente. Começaremos por .
Este vetor pode ser paralelo a . Para isto, basta fazer . Vamos verificar se a reta , passando pela origem e com vetor diretor dista 2 da reta . Portanto,
Sendo um ponto qualquer de . Escolheremos pois já nos foi dado no enunciado da questão. Agora, é só repetir o que já fizemos bastante nesta questão. Portanto,
Portanto,
E assim, satisfaz o critério da questão! Portanto, a nossa primeira possibilidade de resposta é:
Agora, vamos checar se a reta com um vetor da forma é reversa com a reta . Se isto for possível o produto misto deve ser diferente de zero. Calculando-o, verificamos que isto é impossível, pois:
O produto misto sempre é igual a 0 (primeira coluna é zero). Automaticamente, a reta com vetor diretor do tipo nunca poderá ser reversa com !
Passo 4
Agora, vamos repetir o que fizemos no passo anterior, só que com o vetor .
Com este vetor, percebam que as duas retas nunca poderão ser paralelas distintas. Percebam que os dois vetores e não podem ser paralelos de forma alguma! Portanto, as duas retas são reversas e a sua distância é dada por:
Repetindo os cálculos, só que para um vetor diferente, temos:
Substituindo na relação de distância, temos:
Precisamos agora resolver a equação do segundo grau associada. Portanto,
Iremos elevar ao quadrado ambos os membros para eliminar o módulo e raiz. Portanto,
Portanto, temos o vetor . Por fim, a segunda reta que satisfaz a questão será: