Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 7.Problemas propostos - Ex. 20
Achar a distância entre e nos casos:
Passo 1
Antes de qualquer coisa, temos que ver se nossas retas são concorrentes, paralelas ou reversas :O
Primeiro vamos encontrar suas equações vetoriais e facilitar nossa vida hehe
Para , temos
Agora, para :
O vetor diretor de é e o de é
Além disso, um ponto de , pela sua equação, é e um ponto de é .
Então já podemos colocar em jogo o vetor
Belezinha, agora vamos analisar a posição relativa das nossas retas :)
Passo 2
Primeiro vamos ver se as retas são paralelas verificando se seus vetores diretores são múltiplos:
Igualando as coordenadas, não existe que satisfaça a igualdade acima, então as retas já não são paralelas!!
Agora vamos calcular o determinante com linhas , se ele for , nossas retas são concorrentes, se for diferente de , elas são reversas. Lembrando que e , temos:
Como nosso determinante deu diferente de , as retas são reversas, agora sim vamos calcular a distância entre elas :)
Passo 3
Vamos lá pra parte de encontrar a distância entre duas retas reversas (não desanima não, vai ser facinho :P)
Vamos lembrar que:
O vetor diretor de é e o de é
Um ponto de , pela sua equação, é e um ponto de é .
Então
Vimos que a distância entre duas retas reversas é a altura do paralelepípedo formado por , ou seja:
Então vamos fazer essa continha beleza?
Lá no passo 2, vimos que , então:
Fatorando , temos